Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Olá pessoal, aqui é Yuri e hoje estarei ajudando vocês com essa querida prova de cálculo. A integral que precisamos resolver é a,

∫ 2 ( x - 1 ) ² ( - x + 2 ) d x

Como iremos resolver essa integração? Infelizmente acho que o que nos resta é a temida frações parciais.

Passo 2

Então teremos que encontrar as frações parciais para,

1 x - 1 2 - x + 2

E ela pode ser reescrita dessa forma,

1 ( x - 1 ) ² ( - x + 2 ) = a 0 x - 1 + a 1 x - 1 2 + a 2 x - 2

Multiplicando a nossa querida equação pelo denominador,

1 ( x - 1 2 - x + 2 ) ( x - 1 ) ² ( - x + 2 ) = a 0 ( - x - 1 2 x - 2 ) x - 1 + a 1 ( - x - 1 2 x - 2 ) x - 1 2 + a 2 ( - x - 1 2 x - 2 ) x - 2

Agora simplificando tudo, iremos encontrar,

1 = a 0 - x - 1 x - 2 - a 1 x - 2 - a 2 x - 1 2

Resolvendo, iremos encontrar

a 1 = 1 ,   a 2 = - 1

Inserindo agora as soluções que encontramos para o termo que falta,

1 = x 2 - a 0 x 2 + 3 a 0 x 3 x + 3 - 2 a 0

Encontramos finalmente que,

a 0 = 1

Passo 3

Agora podemos finalmente começar a de fato resolvermos nossa integral,

2 ∫ 1 x - 1 d x + ∫ 1 x - 1 2 d x - ∫ 1 x - 2 d x

Todas as integrais acima saem por substituições adequadas,

∫ 1 x - 1 d x

u = x - 1

d u = d x

∫ 1 u d u = ln ⁡ u = ln ⁡ | x - 1 | + C

∫ 1 x - 1 2 d x

u = x - 1

d u = d x

∫ 1 u 2 d u = - 1 u = - 1 x - 1 + C

∫ 1 x - 2 d x

Essa é similar a nossa primeira, então temos que

∫ 1 x - 2 d x = ln ⁡ x - 2 + C

O nosso resultado final é então,

2 ( ln ⁡ | x - 1 | - 1 x - 1 - ln ⁡ x - 2 ) + C

Resposta

2 ( ln ⁡ | x - 1 | - 1 x - 1 - ln ⁡ x - 2 ) + C

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