Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.

a ) ∫ x 7 c o s ( x 4 ) d x

Passo 1

Fala aí, beleza?? Vamos para mais uma questãozinha! Meus amores, nessa questão temos que resolver a integral por meio do método de integração por partes, entretanto, antes de utilizar esse método a questão nos recomenda fazer uma substituição de variáveis de modo a facilitar nossos cálculos. Bora lá!

De início vamos relembrar o método de integração por partes. Basicamente na nossa equação sempre vai ter uma função que vai ser mais fácil derivar enquanto que a função vai ser mais fácil integrar, sendo assim teremos que saber identificar cada uma dessas funções para conseguir utilizar a regra da integração por partes que diz:

∫ t d v   =   t ⋅ v   -   ∫ v d t

Passo 2

Vamos com calma! Primeiro iremos fazer uma substituição de variável porque não sei vocês mas eu fiquei com medo desse x 7 aí rsrs.

Reescrevendo a nossa integral, temos

∫ x 7 c o s ( x 4 ) d x

∫ c o s ( u ) x 7 1 4 x ³ d u   = ∫ c o s ( u ) x 4 1 4 d u = ∫ c o s ( u ) u 4 d u   =   1 4 ∫ u c o s ( u ) d u    

Agora precisamos utilizar o método de integração por partes!

Passo 3

Para utilizar o método de integração por partes em   1 4 ∫ u c o s ( u ) d u devemos identificar quem vai ser o meu t , ou seja, a função mais fácil de derivar e quem será meu v que será a função mais fácil de se integrar. Sabendo dessas informações o nosso problema fica mais simples.

Escolheremos o t de acordo com a ordem do nosso macete : LIATE

Logarítmica ( l n   x )

Inversa trigonométrica ( a r c s e n   x ,   a r c t g   x ,   . . . )

Algébrica ou polinomial ( x ² )

Trigonométrica( s e n   x ,   c o s   x , …)

Exponencial ( e x )

Sendo assim, observa-se que a função mais fácil de se derivar é u .

E a de se integrar é c o s ( u ) d u

Agora que encontramos cada uma basta utilizar a fórmula dada no passo 1.

∫ t d v   =   t ⋅ v   -   ∫ v d t

∫ u c o s ( u ) d u   = u s e n ( u )   -   ∫ s e n ( u ) d u

= u s e n ( u )   - ( - c o s ( u ) )  

= u s e n ( u )   + c o s ( u )  

Assim,

∫ u c o s ( u ) d u   = u s e n ( u )   + c o s ( u )  

  1 4 ∫ u c o s ( u ) d u   =   1 4 ( u s e n ( u )   + c o s ( u ) )

Passo 4

Substituindo u   =   x 4 , temos

  1 4 ∫ u c o s ( u ) d u   =   1 4 ( u s e n ( u )   + c o s ( u ) )

  1 4 ∫   x 4 c o s (   x 4 ) d x   =   1 4 (   x 4 s e n (   x 4 )   + c o s (   x 4 ) )

Portanto,

∫ x 7 c o s ( x 4 ) d x   = 1 4 ∫ u c o s ( u ) d u   = 1 4 ∫   x 4 c o s (   x 4 ) d x     =   1 4 (   x 4 s e n (   x 4 )   + c o s (   x 4 ) )  

Lembrete! Não podemos esquecer que estamos encontrando o valor de uma integral, logo precisamos adicionar a constante de integração K na nossa resposta final.

∫ x 7 c o s ( x 4 ) d x =   1 4 (   x 4 s e n (   x 4 )   + c o s (   x 4 ) )   +   K , onde K   ∈   ℝ .

Beijocas, xuxus!

Bons Estudos! Até logo!

Resposta

∫ x 7 c o s ( x 4 ) d x =   1 4 (   x 4 s e n (   x 4 )   + c o s (   x 4 ) )   +   K , onde K   ∈   ℝ .

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