Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.

b ) ∫ e x d x

Passo 1

Oiii gente linda, tudo bem com vocês?? Bora pra mais um?

Pessoal, nessa questão temos que resolver a integral por meio do método de integração por partes, entretanto, antes de utilizar esse método a questão nos recomenda fazer uma substituição de variáveis de modo a facilitar nossos cálculos. Bora lá!

De início vamos relembrar o método de integração por partes. Basicamente na nossa equação sempre vai ter uma função que vai ser mais fácil derivar enquanto que a função vai ser mais fácil integrar, sendo assim teremos que saber identificar cada uma dessas funções para conseguir utilizar a regra da integração por partes que diz:

∫ t d v   =   t ⋅ v   -   ∫ v d t

Passo 2

Primeiro iremos fazer uma substituição de variável porque não sei vocês mas eu fiquei com medo desse x ali no expoente rsrs.

Reescrevendo a nossa integral, temos

∫ e x d x = ∫ e u 2 x d u   = ∫ e u 2 u d u   = 2 ∫ e u u d u

Agora precisamos utilizar o método de integração por partes!

Passo 3

Para utilizar o método de integração por partes em 2 ∫ e u u d u devemos identificar quem vai ser o meu t , ou seja, a função mais fácil de derivar e quem será meu v que será a função mais fácil de se integrar. Sabendo dessas informações o nosso problema fica mais simples.

Escolheremos o t de acordo com a ordem do nosso macete : LIATE

Logarítmica ( l n   x )

Inversa trigonométrica ( a r c s e n   x ,   a r c t g   x ,   . . . )

Algébrica ou polinomial ( x ² )

Trigonométrica( s e n   x ,   c o s   x , …)

Exponencial ( e x )

Sendo assim, observa-se que a função mais fácil de se derivar é u .

E a de se integrar é e u d u

Agora que encontramos cada uma basta utilizar a fórmula dada no passo 1.

∫ t d v   =   t ⋅ v   -   ∫ v d t

  2 ∫ e u u d u   =   2 ( u e u   - ∫ e u d u )

Assim,

  2 ∫ e u u d u   =   2 ( u e u   - ∫ e u d u )   =   2 ( u e u   - e u ) = 2 e u ( u   - 1 )  

Passo 4

Substituindo u   =   x , temos

∫ e x d x   = 2 e   x (   x   - 1 )  

Lembrete! Não podemos esquecer que estamos encontrando o valor de uma integral, logo precisamos adicionar a constante de integração K na nossa resposta final.

Portanto,

∫ e x d x   = 2 e   x (   x   - 1 )   +   K , onde K   ∈   ℝ .

E aí, tudo tranquilo??? Show!

Bons Estudos! Até logo!

Resposta

∫ e x d x   = 2 e   x (   x   - 1 )   +   K , onde K   ∈   ℝ .

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