Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.

c ) ∫ x ³ e x ² d x

Passo 1

E ai, xuxus!! Quais as novidades? A que eu tenho pra vocês é que vão tirar 10 nessa matéria :)

Pessoal, nessa questão temos que resolver a integral por meio do método de integração por partes, entretanto, antes de utilizar esse método a questão nos recomenda fazer uma substituição de variáveis de modo a facilitar nossos cálculos. Bora lá!

De início vamos relembrar o método de integração por partes. Basicamente na nossa equação sempre vai ter uma função que vai ser mais fácil derivar enquanto que a função vai ser mais fácil integrar, sendo assim teremos que saber identificar cada uma dessas funções para conseguir utilizar a regra da integração por partes que diz:

∫ t d v   =   t ⋅ v   -   ∫ v d t

Passo 2

Primeiro iremos fazer uma substituição de variável porque não sei vocês mas eu fiquei com medo desse x ²   ali no expoente rsrs.

Reescrevendo a nossa integral, temos

∫ x ³ e x ² d x = ∫ x ³ e u d u 2 x   = ∫ x ² e u d u 2   = ∫ u e u 2 d u   =   1 2 ∫ u e u d u

Agora precisamos utilizar o método de integração por partes!

Passo 3

Para utilizar o método de integração por partes em 1 2 ∫ u e u d u devemos identificar quem vai ser o meu t , ou seja, a função mais fácil de derivar e quem será meu v que será a função mais fácil de se integrar. Sabendo dessas informações o nosso problema fica mais simples.

Escolheremos o t de acordo com a ordem do nosso macete : LIATE

Logarítmica ( l n   x )

Inversa trigonométrica ( a r c s e n   x ,   a r c t g   x ,   . . . )

Algébrica ou polinomial ( x ² )

Trigonométrica( s e n   x ,   c o s   x , …)

Exponencial ( e x )

Sendo assim, observa-se que a função mais fácil de se derivar é u .

E a de se integrar é e u d u

Agora que encontramos cada uma basta utilizar a fórmula dada no passo 1.

∫ t d v   =   t ⋅ v   -   ∫ v d t

1 2 ∫ u e u d u   =   1 2 ( u e u - ∫ e u d u )   =   1 2 ( u e u - e u )   = 1 2 e u ( u - 1 )

Assim,

1 2 ∫ u e u d u   = 1 2 e u ( u - 1 )

Passo 4

Substituindo u   =   x ² , temos

∫ x ³ e x ² d x   = 1 2 e u ( u - 1 ) = 1 2 e x ² ( x ² - 1 )  

Lembrete! Não podemos esquecer que estamos encontrando o valor de uma integral, logo precisamos adicionar a constante de integração K na nossa resposta final.

Portanto,

∫ x ³ e x ² d x   = 1 2 e x ² ( x ² - 1 ) + K   , onde K   ∈   ℝ .

Tudo tranquilinho?? Blz!

Bons Estudos! Até logo!

:)

Resposta

∫ x ³ e x ² d x   = 1 2 e x ² ( x ² - 1 ) + K   , onde K   ∈   ℝ .

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x