Calcule as integrais abaixo usando o método de integração por partes

∫ x e x 1 + x 2 d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

∫ x e x 1 + x 2 d x

E para resolvermos, temos que usar integração por parte:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Show, com isso podemos o nosso exercício.

Passo 2

Vamos começar a calcular:

∫ x e x 1 + x 2 d x

u = x e x → d u = ( e x + x e x ) d x

d v = 1 1 + x 2 d x → v = - 1 1 + x

Substituindo:

∫ x e x 1 + x 2 d x = - x e x 1 + x - ∫ - ( e x + x e x ) 1 + x d x

Vamos dar uma arrumada:

∫ x e x 1 + x 2 d x = - x e x 1 + x + ∫ ( e x + x e x ) 1 + x d x

∫ x e x 1 + x 2 d x = - x e x 1 + x + ∫ e x ( 1 + x ) 1 + x d x

∫ x e x 1 + x 2 d x = - x e x 1 + x + ∫ e x d x

Resolvendo a nossa integral da direita:

∫ x e x 1 + x 2 d x = - x e x 1 + x + e x + C

Resposta

∫ x e x 1 + x 2 d x = - x e x 1 + x + e x + C

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