Calcule as integrais abaixo usando o método de integração por partes

∫ x 4 e x d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

∫ x 4 e x d x

E para resolvermos, temos que usar integração por parte:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Show, com isso podemos o nosso exercício.

Passo 2

Vamos começar a calcular:

∫ x 4 e x d x

u = x 4 → d u = 4 x 3 d x

d v = e x d x → v = e x

Substituindo:

∫ x 4 e x d x = x 4 e x - ∫ 4 x 3 e x d x

Vamos dar uma arrumada:

∫ x 4 e x d x = x 4 e x - 4 ∫ x 3 e x d x

Reparem que nós temos na direita praticamente a mesma integral do início, mas com grau 3 e não 4. Vamos ter que fazer o mesmo processo. Vamos poder concluir que:

∫ x 3 e x d x = x 3 e x - 3 ∫ x 2 e x d x

Isso se mantém até o final:

∫ x 2 e x d x = x 2 e x - 2 ∫ x e x d x

∫ x e x d x = x e x - ∫ e x d x = x e x - e x

Passo 3

Juntando tudo:

∫ x 4 e x d x = x 4 e x - 4 ∫ x 3 e x d x

∫ x 3 e x d x = x 3 e x - 3 ∫ x 2 e x d x

Vamos substituir aqui primeiro:

∫ x 4 e x d x = x 4 e x - 4 x 3 e x - 3 ∫ x 2 e x d x

Vimos no Passo 2 que:

∫ x 2 e x d x = x 2 e x - 2 ∫ x e x d x

Então:

∫ x 4 e x d x = x 4 e x - 4 x 3 e x - 3 ∫ x 2 e x d x

∫ x 4 e x d x = x 4 e x - 4 x 3 e x - 3 x 2 e x - 2 ∫ x e x d x

Vimos no Passo 2 que:

∫ x e x d x = x e x - e x

Então:

∫ x 4 e x d x = x 4 e x - 4 x 3 e x - 3 x 2 e x - 2 x e x - e x

Vamos dar uma arrumada nisso tudo, de dentro para fora:

∫ x 4 e x d x = x 4 e x - 4 x 3 e x - 3 x 2 e x - 2 x e x - 2 e x

∫ x 4 e x d x = x 4 e x - 4 x 3 e x - 3 x 2 e x + 6 x e x + 6 e x

∫ x 4 e x d x = x 4 e x - 4 x 3 e x + 12 x 2 e x - 24 x e x - 24 e x + C

Resposta

∫ x 4 e x d x = x 4 e x - 4 x 3 e x + 12 x 2 e x - 24 x e x - 24 e x + C

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