Calcule as integrais abaixo usando o método de integração por partes

∫ x s e n ( x ) d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

∫ x s e n ( x ) d x

E para resolvermos, temos que usar integração por parte:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Show, com isso podemos o nosso exercício.

Passo 2

Vamos começar a calcular:

∫ x s e n ( x ) d x

u = x → d u = x d x

d v = s e n x d x → v = - c o s ⁡ ( x )

Substituindo:

∫ x s e n ( x ) d x = - x c o s x - ∫ - c o s ⁡ ( x ) x d x

Vamos dar uma arrumada:

∫ x s e n ( x ) d x = - x c o s x + ∫ x c o s ⁡ ( x ) d x

Reparem que a nossa integral da direita é bem parecida com a inicial, só que agora com cosseno. Vamos ter que fazer o mesmo processo só para ela.

Passo 3

Vamos começar a calcular:

∫ x c o s ( x ) d x

u = x → d u = x d x

d v = c o s x d x → v = s e n ( x )

Substituindo:

∫ x c o s ( x ) d x = x s e n x - ∫ x s e n ( x ) d x

Juntando tudo:

∫ x s e n ( x ) d x = - x c o s x + ∫ x c o s ⁡ ( x ) d x

∫ x s e n ( x ) d x = - x c o s x + x s e n x - ∫ x s e n ( x ) d x

Opa, reparem que temos a mesma integral na direita e na esquerda. Isso é uma integral circular. Vamos passar a da direita para a esquerda com sinal contrário.

∫ x s e n ( x ) d x + ∫ x s e n ( x ) d x = - x c o s x + x s e n x

2 ∫ x s e n ( x ) d x = - x c o s x + x s e n x

∫ x s e n ( x ) d x = x 2 s e n x - cos ⁡ x + C

Resposta

∫ x s e n ( x ) d x = x 2 s e n x - cos ⁡ x + C

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