Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Calcule as integrais abaixo

∫ 0 π / 2 e x s e n x d x

Passo 1

Vamos usar o passo a passo da integração por partes, resolver a integral para, então, substituir os limites de integração:

Pelo LIATE, escolhemos a o u sendo o sen ⁡ x :

u = sen ⁡ ( x )     ( t r i g o n o m é t r i c a ) d v = e x d x       ( e x p o n e n c i a l )

O que gera:

d u = cos ⁡ ( x ) d x v = e x

Agora é só fazer ∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ e x sen ⁡ ( x ) d x = e x sen ⁡ ( x ) - ∫ e x cos ⁡ ( x ) d x

Iremos ter que usar a integral por partes de novo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos chamar I = ∫ e x cos ⁡ ( x ) d x .

Vamos calcular I pelo método da integração por partes. Do seguinte modo:

u = cos ⁡ ( x ) → d u = - sen ⁡ ( x ) d x d v = e x d x → v = e x

I = e x cos ⁡ x - ∫ - e x sen ⁡ x d x

I = e x cos ⁡ ( x ) + ∫ e x sen ⁡ x d x

Passo 3

Então, substituindo I :

∫ e x sen ⁡ x d x = e x sen ⁡ x - I

∫ e x sen ⁡ x d x = e x sen ⁡ x - e x cos ⁡ ( x ) + ∫ e x sen ⁡ x d x

Ora, apareceu a mesma integral que queríamos calcular no início do problema. Quando isso acontece, temos que utilizar a técnica de imaginá-la como uma variável. Assim (passando para o outro lado):

∫ e x sen ⁡ x d x + ∫ e x sen ⁡ x d x = e x sen ⁡ x - e x cos ⁡ x

2 ∫ e x sen ⁡ x d x = e x sen ⁡ x - e x cos ⁡ ( x )

∫ e x sen ⁡ x d x = 1 2 e x sen ⁡ x - e x cos ⁡ x + C

Passo 4

Agora substituímos os limites de integração:

1 2 e x sen ⁡ x - e x cos ⁡ x [ π 2 0

= 1 2 e π 2 sen ⁡ π 2 - e π 2 cos ⁡ π 2 - 1 2 e 0 sen ⁡ 0 - e 0 cos ⁡ 0

= 1 2 e π 2 1 - e π 2 0 - 1 2 1 0 - 1 1

= 1 2 e π 2 + 1 2 = 1 2 e π 2 + 1

Resposta

∫ 0 π / 2 e x sen ⁡ x d x = 1 2 e π 2 + 1

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