Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Integração por partes

Calcule as integrais:

a   ∫ x . arctg ⁡ x d x

Passo 1

Vamos pelo lado da integral por partes pois estamos com um produto de funções muito diferentes entre si. Escolhemos o nosso u pela regrinha do LIATE, o resto será nosso d v :

u = arctg ⁡ x → d u = d x 1 + x 2

d v = x . d x → v = x 2 2

Agora usamos a fórmula da integral por partes, vai ficar assim:

∫ x . arctg ⁡ x d x = arctg ⁡ x x 2 2 - ∫ x 2 2 d x 1 + x 2

= arctg ⁡ x x 2 2 - 1 2 ∫ x 2 1 + x 2 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vou focar nessa integral que sobrou, depois colocamos o resultado dela nessa fórmula:

∫ x 2 1 + x 2 d x = ∫ 1 + x 2 - 1 1 + x 2 d x

= ∫ 1 - 1 1 + x 2 d x

= x - arctg ⁡ x

Então o resultado será:

= arctg ⁡ x x 2 2 - 1 2 x - arctg ⁡ x

= arctg ⁡ x x 2 + 1 2 - x 2 + C

Resposta

∫ x . arctg ⁡ x d x = arctg ⁡ x x 2 + 1 2 - x 2 + C

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