Calcule as integrais indefinidas abaixo

a )   ∫ x ln ⁡ x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa integral parece complicada de resolver, mas vou te ajudar! Precisamos resolver essa integral aqui:

∫ x ln ⁡ x d x

Logo de cara vemos que tem um logaritmo de um polinômio de x , o que deixa ele bem estranho. Não temos a derivada daquele l n no integrando, então não podemos usar a técnica da substituição simples. O que nos resta? POR PARTES!

Mas calma! Nota que no integrando temos o produto de duas funções:

ln ⁡ x

x . d x

Sendo que uma delas é fácil de integrar ( x . d x ) e a outra de derivar ln ⁡ x

Mas se não for obvio para você, pode também usar o LIATE para escolher quem será nosso u , e por consequência, nosso d v :

Sendo assim vamos escolher u = ln ⁡ ( x )   e d v = x d x e aplicar a integração por partes! Essa é a ideia para resolver essa questão!

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos integrar essa coisa:

∫ x ln ⁡ ( x ) d x

Pelo nosso querido LIATE sabemos que a escolha de u é ln ⁡ ( x ) , então nosso d v = x d x :

Tranquilo até aqui?

Agora precisamos colocar na integração por partes:

Fazendo as substituições temos:

∫ x ln ⁡ x d x = 2 3 x 3 2 . ln ⁡ x - ∫ 1 x 2 3 x 3 2 d x  

∫ x ln ⁡ x d x = 2 3 x 3 2 . ln ⁡ x - 2 3 ∫ x 1 / 2 d x

Beleza? Vamos guardar esse resultado!

Passo 3

Estamos quase lá! Agora nossa missão é resolver aquela integral que surgiu na direita:

∫ x ln ⁡ x d x = 2 3 x 3 2 . ln ⁡ x - 2 3 ∫ x 1 / 2 d x

∫ x ln ⁡ x d x = 2 3 x 3 2 . ln ⁡ x - 2 3 2 3 x 3 2 = 2 3 x 3 2 . ln ⁡ x - 4 9 x 3 2 + C

Não vai esquecer de colocar aquele + C no final, pois temos uma integral indefinida!

Agora sim! Terminamos!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

2 3 x 3 2 . ln ⁡ x - 4 9 x 3 2 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x