Calcule as integrais indefinidas abaixo

b )   ∫ x   e 2 x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa integral parece complicada de resolver, mas vou te ajudar! Precisamos resolver essa integral aqui:

∫ x   e 2 x d x

Logo de cara vemos que tem uma exponencial e 2 x de um polinômio de x , o que deixa ele bem estranho. Não temos a derivada daquele e 2 x no integrando, então não podemos usar a técnica da substituição simples. O que nos resta? POR PARTES!

Mas calma! Nota que no integrando temos o produto de duas funções:

x

e 2 x . d x

Sendo que uma delas é fácil de integrar ( e 2 x . d x ) e a outra de derivar x

Mas se não for obvio para você, pode também usar o LIATE para escolher quem será nosso u , e por consequência, nosso d v :

Sendo assim vamos escolher u = x   e d v = e 2 x d x e aplicar a integração por partes! Essa é a ideia para resolver essa questão!

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos integrar essa coisa:

∫ x   e 2 x d x

Pelo nosso querido LIATE sabemos que a escolha de u é x , então nosso d v = e 2 x d x :

Tranquilo até aqui?

Agora precisamos colocar na integração por partes:

Fazendo as substituições temos:

∫ x e 2 x d x = x 2 e 2 x - ∫ 1 2 e 2 x d x  

Beleza? Vamos guardar esse resultado!

Passo 3

Estamos quase lá! Agora nossa missão é resolver aquela integral que surgiu na direita:

∫ x e 2 x d x = x 2 e 2 x - ∫ 1 2 e 2 x d x  

∫ x e 2 x = x e 2 x 2 - 1 2 1 2 e 2 x = x e 2 x 2 - e 2 x 4 + C

Não vai esquecer de colocar aquele + C no final, pois temos uma integral indefinida!

Agora sim! Terminamos!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

x e 2 x 2 - e 2 x 4 + C

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Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x