Calcule as integrais indefinidas abaixo

e )   ∫ x 3 - x 2 + x - 1 ln ⁡ x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa integral parece complicada de resolver, mas vou te ajudar! Precisamos resolver essa integral aqui:

∫ x 3 - x 2 + x - 1 ln ⁡ x d x

Logo de cara vemos que tem um logaritmo e um polinômio. Não temos a derivada de nenhum dos dois no integrando, então não podemos usar a técnica da substituição simples. O que nos resta? POR PARTES!

Vamos relembrar qual é a fórmula da integração por partes?

Mas qual função escolher para u ? E para d v ? Se você não sabe qual escolher para u , você pode usar o LIATE:

Sendo assim vamos escolher u = ln ⁡ x   e d v = x 3 - x 2 + x - 1 d x e aplicar a integração por partes! Essa é a ideia para resolver essa questão!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos integrar essa coisa:

∫ ln ⁡ x ( x 3 - x 2 + x - 1 ) d x

Pelo nosso querido LIATE sabemos que a escolha de u é ln ⁡ x , então nosso d v = ( x 3 - x 2 + x - 1 ) d x :

Tranquilo até aqui?

Agora precisamos colocar na integração por partes:

Fazendo as substituições temos:

∫ ln ⁡ x ( x 3 - x 2 + x - 1 ) d x = ln ⁡ x x 4 4 - x 3 3 + x 2 2 - x - ∫ 1 x x 4 4 - x 3 3 + x 2 2 - x d x  

= ln ⁡ x x 4 4 - x 3 3 + x 2 2 - x - ∫ x 3 4 - x 2 3 + x 2 - 1 d x  

Beleza? Vamos guardar esse resultado!

Passo 3

Estamos quase lá! Agora nossa missão é resolver aquela integral que surgiu na direita:

∫ ln ⁡ x ( x 3 - x 2 + x - 1 ) d x = ln ⁡ x x 4 4 - x 3 3 + x 2 2 - x - ∫ x 3 4 - x 2 3 + x 2 - 1 d x  

E para resolver vamos usar substituição simples:

∫ x 3 4 - x 2 3 + x 2 - 1 d x   = x 4 16 - x 3 9 + x 2 4 - x

Aí nosso resultado fica:

∫ ln ⁡ x ( x 3 - x 2 + x - 1 ) d x = ln ⁡ x x 4 4 - x 3 3 + x 2 2 - x - x 4 16 - x 3 9 + x 2 4 - x + C

Não vai esquecer de colocar aquele + C no final, pois temos uma integral indefinida!

Agora sim! Terminamos!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

∫ ln ⁡ x ( x 3 - x 2 + x - 1 ) d x = ln ⁡ x x 4 4 - x 3 3 + x 2 2 - x - x 4 16 - x 3 9 + x 2 4 - x + C

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Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x