Calcule as integrais indefinidas abaixo

46 .   ∫ ln ⁡ ( x + 1 + x 2 ) d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ ln ⁡ ( x + 1 + x 2 ) d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como neste integrando temos o produto de duas funções bem distintas (e que uma parte não é a derivada da outra) vamos usar a técnica de integração por partes

Nessa técnica devemos escolher no integrando quem é u e quem é d v , de forma que

∫ u   d v = u v - v ∫ d u

Beleza?

E como escolher nosso u ? Pela nossa regrinha do LIATE:

  • L: logaritmo
  • I: inversa trigonométrica
  • A: algébrica (polinômio)
  • T: trigonométrica
  • E: exponencial

O resto é o d v ! Escolhendo u e d v , vamos achar d u e v , e jogar na fórmula! É pra sair uma integral mais simpática!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Usando a regra do LIATE no integrando

∫ ln ⁡ ( x + 1 + x 2 ) d x

u = ln ⁡ x + 1 + x 2 ,   d u = 1 x + 1 + x 2 . 1 + x 1 + x 2 d x

d u = 1 x + 1 + x 2 1 + x 2 + x 1 + x 2 d x = 1 1 + x 2 d x

d v = d x ,   v = x

Beleza?

Agora é só jogar na fórmula da integração por partes!

= x ln ⁡ x + 1 + x 2 + ∫ x 1 + x 2 d x  

nosso integrando ficou bem mais tranquilo né?

Passo 3

Agora vamos resolver a integral que ficou do lado direito

= x ln ⁡ x + 1 + x 2 + ∫ x 1 + x 2 d x  

Usando substituição simples, com u = 1 + x 2 → d u 2 = x   d x . Aí temos

= x ln ⁡ x + 1 + x 2 + 1 2 ∫ u - 1 / 2 d u  

Integrando temos

= x ln ⁡ x + 1 + x 2 + u + C

E retornando para x

= x ln ⁡ x + 1 + x 2 + 1 + x 2 + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

x ln ⁡ x + 1 + x 2 + 1 + x 2 + C

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