Calcule as integrais indefinidas abaixo

d )   ∫ arccos ⁡ x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa integral parece complicada de resolver, mas vou te ajudar! Precisamos resolver essa integral aqui:

∫ arccos ⁡ x d x

Logo de cara vemos que tem uma função trigonométrica arccos ⁡ x e não temos a derivada dele no integrando, então não podemos usar a técnica da substituição simples. O que nos resta? POR PARTES!

Mas calma! Nota que no integrando temos o produto de duas funções:

arccos ⁡ x

1 d x

Mas se você não sabe qual escolher para u , você pode também usar o LIATE:

Sendo assim vamos escolher u = arccos ⁡ x   e d v = d x e aplicar a integração por partes! Essa é a ideia para resolver essa questão!

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos integrar essa coisa:

∫ arccos ⁡ x d x

Pelo nosso querido LIATE sabemos que a escolha de u é arccos ⁡ x , então nosso d v = d x :

Tranquilo até aqui?

Agora precisamos colocar na integração por partes:

Fazendo as substituições temos:

∫ arccos ⁡ x d x = x arccos ⁡ x - ∫ - x 1 - x 2 d x  

= x arccos ⁡ x + ∫ x   d x 1 - x 2

Beleza? Vamos guardar esse resultado!

Passo 3

Estamos quase lá! Agora nossa missão é resolver aquela integral que surgiu na direita:

∫ arccos ⁡ x d x = x arccos ⁡ x + ∫ x   d x 1 - x 2

E para resolver vamos usar substituição simples:

∫ x   d x 1 - x 2 = - 1 2 ∫ 1 u d u = - 1 2 2 u = - 1 - x 2

Aí nosso resultado fica:

∫ arccos ⁡ x d x = x arccos ⁡ x - 1 - x 2 + C

Não vai esquecer de colocar aquele + C no final, pois temos uma integral indefinida!

Agora sim! Terminamos!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

∫ arccos ⁡ x d x = x arccos ⁡ x - 1 - x 2 + C

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