Calcule as integrais indefinidas abaixo

32 .   ∫ x arctan ⁡ x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ x arctan ⁡ x d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como neste integrando temos o produto de duas funções bem distintas (e que uma parte não é a derivada da outra) vamos usar a técnica de integração por partes

Nessa técnica devemos escolher no integrando quem é u e quem é d v , de forma que

∫ u   d v = u v - v ∫ d u

Beleza?

E como escolher nosso u ? Pela nossa regrinha do LIATE:

  • L: logaritmo
  • I: inversa trigonométrica
  • A: algébrica (polinômio)
  • T: trigonométrica
  • E: exponencial

O resto é o d v ! Escolhendo u e d v , vamos achar d u e v , e jogar na fórmula! É pra sair uma integral mais simpática!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Usando a regra do LIATE no integrando

∫ x arctan ⁡ x d x

u = arctan ⁡ x ,   d u = 1 1 + x 2 d x

d v = x d x ,   v = x 2 2

Beleza?

Agora é só jogar na fórmula da integração por partes!

= x 2 2 arctan ⁡ x - 1 2 ∫ x 2 x 2 + 1 d x  

nosso integrando ficou bem mais tranquilo né?

Passo 3

Agora vamos resolver a integral que ficou do lado direito

= x 2 2 arctan ⁡ x - 1 2 ∫ x 2 x 2 + 1 d x    

Somando e subtraindo 1 no numerador podemos separar em duas integrais

= x 2 2 arctan ⁡ x - 1 2 ∫ x 2 + 1 x 2 + 1 d x - ∫ 1 x 2 + 1 d x

E integrar!

= x 2 2 arctan ⁡ x - 1 2 x - arctan ⁡ x

E por fim juntar os semelhantes

= x 2 2 + 1 2 arctan ⁡ x - x 2 + C

Ah! Não esquece da constante no final! Temos uma integral indefinida!

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

x 2 2 + 1 2 arctan ⁡ x - x 2 + C

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