Calcule as integrais indefinidas abaixo

71 .   ∫ arctan ⁡ x x 2 d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ arctan ⁡ x x 2 d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como neste integrando temos o produto de duas funções bem distintas vamos usar a técnica de integração por partes

Nessa técnica devemos escolher no integrando quem é u e quem é d v , de forma que

∫ u   d v = u v - v ∫ d u

Beleza?

E como escolher nosso u ? Pela nossa regrinha do LIATE:

  • L: logaritmo
  • I: inversa trigonométrica
  • A: algébrica (polinômio)
  • T: trigonométrica
  • E: exponencial

O resto é o d v ! Escolhendo u e d v , vamos achar d u e v , e jogar na fórmula! É pra sair uma integral mais simpática!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Usando a regra do LIATE no integrando

∫ arctan ⁡ x x 2 d x

u = arctan ⁡ x ,   d u = 1 x 2 + 1 d x

d v = 1 x 2 d x ,   v = - 1 x

Beleza?

Agora é só jogar na fórmula da integração por partes!

= - arctan ⁡ x x - ∫ - 1 x . 1 x 2 + 1 d x   = - arctan ⁡ x x + ∫ d x x ( x 2 + 1 )

nosso integrando ficou bem mais tranquilo né?

Passo 3

Agora vamos resolver a integral que ficou do lado direito vamos separar em frações parciais

∫ d x x ( x 2 + 1 ) → A x + B x + C x 2 + 1 = A x 2 + 1 + x ( B x + C ) x ( x 2 + 1 ) = x 2 A + B + x C + ( A ) x ( x 2 + 1 )

Resolvendo ficamos com um sistema

A + B = 0 → A = - B C = 0 A = 1

Aí nossa integral se transformou em duas

= 1 x - x x 2 + 1

Agora é #partiu integrar

∫ 1 x d x - ∫ x x 2 + 1 d x

= ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 )  

Beleza? Agora vamos resgatar o resultado passado a agrupar esse novo!

∫ arctan ⁡ x x 2 d x = - arctan ⁡ x x + ∫ d x x ( x 2 + 1 )

= - arctan ⁡ x x + ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

- arctan ⁡ x x + ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + C

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