Calcule as integrais indefinidas abaixo

f )   ∫ x cosh ⁡ ( 4 x ) d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa integral parece complicada de resolver, mas vou te ajudar! Precisamos resolver essa integral aqui:

∫ x cosh ⁡ ( 4 x ) d x

Logo de cara vemos que tem uma função trigonométrica hiperbólica e um polinômio. Não temos a derivada de nenhum dos dois no integrando, então não podemos usar a técnica da substituição simples. O que nos resta? POR PARTES!

Vamos relembrar qual é a fórmula da integração por partes?

Mas qual função escolher para u ? E para d v ? Se você não sabe qual escolher para u , você pode usar o LIATE:

Sendo assim vamos escolher u = x   e d v = cosh ⁡ 4 x d x e aplicar a integração por partes! Essa é a ideia para resolver essa questão!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos integrar essa coisa:

∫ x ( cosh ⁡ 4 x ) d x

Pelo nosso querido LIATE sabemos que a escolha de u é x , então nosso d v = ( cosh ⁡ ( 4 x ) ) d x :

Tranquilo até aqui?

Agora precisamos colocar na integração por partes:

Fazendo as substituições temos:

∫ x ( cosh ⁡ 4 x ) d x = x sinh ⁡ 4 x 4   - ∫ sinh ⁡ 4 x 4 d x  

Beleza? Vamos guardar esse resultado!

Passo 3

Estamos quase lá! Agora nossa missão é resolver aquela integral que surgiu na direita:

∫ x ( cosh ⁡ 4 x ) d x = x sinh ⁡ 4 x 4   - ∫ sinh ⁡ 4 x 4 d x  

E para resolver vamos usar substituição simples:

∫ sinh ⁡ 4 x 4 d x   = 1 16 cosh ⁡ 4 x

Aí nosso resultado fica:

∫ x ( cosh ⁡ 4 x ) d x = x sinh ⁡ 4 x 4   - 1 16 cosh ⁡ 4 x + C

Não vai esquecer de colocar aquele + C no final, pois temos uma integral indefinida!

Agora sim! Terminamos!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

∫ x ( cosh ⁡ 4 x ) d x = x sinh ⁡ 4 x 4   - 1 16 cosh ⁡ 4 x + C

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