Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Calcule as integrais indefinidas abaixo:

∫ ln ⁡ x 2 d x

Passo 1

Cara, vou te dar uma dica. Guarda no coração: se aparecer esse log simples ln ⁡ x , e você não enxergar nenhum caso de substituição simples (aparecer a derivada da função e a função no integrando), tenta usar integração por partes, tá?

É o que vamos fazer aqui. Primeiro a gente vai reescrever esse integrando para virar um produto de duas funções:

∫ ln ⁡ x 2 ⋅ 1 d x

Vamos começar escolhendo u , usando a regrinha LIATE (log, inversa trigonométrica, algébrica, trigonométrica, exponencial).

A ideia é que o tipo de função que tem na nossa integral e aparece primeiro nessa regrinha é o u . Percebe que a primeira função na regrinha é o log, então ele é o u e a gente usa regra da cadeia para achar d u :

u = ln ⁡ x 2 ,     d u d x = 2 ln ⁡ x 1 x = 2 ln ⁡ x x ∴ d u = 2 ln ⁡ x x d x

E aí o que sobra a gente chama de d v e integra para achar v :

d v = 1   d x ∴ v = ∫ 1 d x = x ∴ v = x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aí a gente substitui essas coisas que a gente achou na fórmulinha de integrais por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ ln ⁡ x 2 ⋅ 1 d x = ln ⁡ x 2 x - ∫ x ⋅ 2 ln ⁡ x x d x

∫ ln ⁡ x 2 ⋅ 1 d x = ln ⁡ x 2 x - ∫ 2 ln ⁡ x d x

Passo 3

Apareceu outra integral com ln ⁡ x para a gente descobrir. Pega aquela dica do começo que você guardou no coração, porque vamos usar de novo!

Nossa integral que precisa ser resolvida agora é:

∫ 2 ln ⁡ x d x = ∫ ln ⁡ x ⋅ 2   d x

A gente viu que o log aparece primeiro na regrinha LIATE, então já chamamos ele de u :

u = ln ⁡ x ,     d u d x = 1 x ∴ d u = 1 x   d x

E aí o que sobra a gente chama de d v e integra para achar v :

d v = 2   d x ∴ v = ∫ 2 d x = 2 x ∴ v = 2 x

Passo 4

Vamos usar a fórmulinha de novo aqui para essa integral

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ ln ⁡ x ⋅ 2 d x = ln ⁡ x 2 x - ∫ 2 x ⋅ 1 x d x

∫ 2 ln ⁡ x = 2 x ln ⁡ x - 2 ∫ 1 d x = 2 x ln ⁡ x - 2 x

Passo 5

Substituindo esse resultado na nossa primeira integração por partes:

∫ ln ⁡ x 2 ⋅ 1 d x = ln ⁡ x 2 x - ∫ 2 ln ⁡ x d x

∫ ln ⁡ x 2 ⋅ 1 d x = ln ⁡ x 2 x - 2 x ln ⁡ x - 2 x

∫ ln ⁡ x 2 d x = ln ⁡ x 2 x - 2 x ln ⁡ x + 2 x + C

Não pode esquecer do C   já que é uma integral indefinida. Prontinho!

Resposta

ln ⁡ x 2 x - 2 x ln ⁡ x + 2 x + C

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