Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Calcule as integrais indefinidas abaixo:

∫ 0 π x 2 cos ⁡ x d x

Passo 1

Cara, vou te dar uma dica. Guarda no coração: se tiver um produto entre um polinômio e um cosseno simples (ou um seno simples), tenta usar integração por partes, tá?

É o que vamos fazer aqui. Vamos começar escolhendo u , usando a regrinha LIATE (log, inversa trigonométrica, algébrica, trigonométrica, exponencial).

A ideia é que o tipo de função que tem na nossa integral e aparece primeiro nessa regrinha é o u . Percebe que a primeira função na regrinha é o log. Mas não temos log. Nem temos uma inversa trigonométrica também.

Maaas a gente tem uma função algébrica, que é o mesmo que um polinômio, o que temos no nosso integrando! Então ele é o u e a gente usa regra da cadeia para achar d u :

u = x 2 ,     d u d x = 2 x ∴ d u = 2 x   d x

E aí o que sobra a gente chama de d v e integra para achar v :

d v = cos ⁡ x   d x ∴ v = ∫ cos ⁡ x d x = s e n   x ∴ v = s e n   x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aí a gente substitui essas coisas que a gente achou na fórmulinha de integrais por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x 2 cos ⁡ x d x = x 2 ( s e n   x ) - ∫ s e n   x   2 x d x

Passo 3

Apareceu outra integral para a gente descobrir. Repara que ela é um produto entre um polinômio e um seno. Pega aquela dica do começo que você guardou no coração, porque vamos usar de novo!

Nossa integral que precisa ser resolvida agora é:

∫ 2 x   s e n   x d x

A gente viu que o polinômio aparece primeiro na regrinha LIATE, então já chamamos ele de u :

u = 2 x ,     d u d x = 2 ∴ d u = 2   d x

E aí o que sobra a gente chama de d v e integra para achar v :

d v = s e n   x   d x ∴ v = ∫ s e n   x d x = - cos ⁡ x ∴ v = - cos ⁡ x

Passo 4

Vamos usar a fórmulinha de novo aqui para essa integral

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ 2 x   s e n   x d x = 2 x - cos ⁡ x - ∫ - cos ⁡ x ⋅ 2 d x

∫ 2 x   s e n   x d x = - 2 x cos ⁡ x + 2 ∫ cos ⁡ x d x = - 2 x cos ⁡ x + 2   s e n   x

E a nossa primeira integração por partes fica:

∫ x 2 cos ⁡ x d x = x 2 s e n   x - - 2 x cos ⁡ x + 2   s e n   x

∫ x 2 cos ⁡ x d x = x 2 s e n   x + 2 x cos ⁡ x - 2   s e n   x

Passo 5

Mas lembra que nossa integral é definida. Então precisamos aplicar os extremos de integração:

∫ 0 π x 2 cos ⁡ x d x = x 2 s e n   x + 2 x cos ⁡ x - 2   s e n   x 0 π

∫ 0 π x 2 cos ⁡ x d x = π 2 s e n   π + 2 π cos ⁡ π - 2   s e n   π - 0 2 s e n   0 - 2 ⋅ 0 cos ⁡ 0 + 2   s e n   0

Como s e n   π = s e n   0 = 0 e cos ⁡ π = - 1 .

∫ 0 π x 2 cos ⁡ x d x = 2 π cos ⁡ π = - 2 π

Prontinho!

Resposta

- 2 π

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