Calcule as integrais indefinidas abaixo

c )   ∫ x sec 2 ⁡ ( 2 x ) d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa integral parece complicada de resolver, mas vou te ajudar! Precisamos resolver essa integral aqui:

∫ x sec 2 ⁡ ( 2 x ) d x

Logo de cara vemos que tem uma função trigonométrica sec 2 ⁡ 2 x de um polinômio de x , o que deixa ele bem estranho. Não temos a derivada daquele sec 2 ⁡ 2 x no integrando, então não podemos usar a técnica da substituição simples. O que nos resta? POR PARTES!

Mas calma! Nota que no integrando temos o produto de duas funções:

x

sec 2 ⁡ ( 2 x )

Mas se você não sabe qual escolher para u , você pode também usar o LIATE:

Sendo assim vamos escolher u = x   e d v = sec 2 ⁡ ( 2 x ) d x e aplicar a integração por partes! Essa é a ideia para resolver essa questão!

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos integrar essa coisa:

∫ x sec 2 ⁡ ( 2 x ) d x

Pelo nosso querido LIATE sabemos que a escolha de u é x , então nosso d v = sec 2 ⁡ ( 2 x ) d x :

Tranquilo até aqui?

Agora precisamos colocar na integração por partes:

Fazendo as substituições temos:

∫ x   s e c 2 ( 2 x ) d x = x t g 2 x 2 - ∫ 1 2 t g ( 2 x ) d x  

Beleza? Vamos guardar esse resultado!

Passo 3

Estamos quase lá! Agora nossa missão é resolver aquela integral que surgiu na direita:

∫ x   s e c 2 ( 2 x ) d x = x t g 2 x 2 - ∫ 1 2 t g ( 2 x ) d x  

E para resolver vamos usar substituição simples:

∫ t g 2 x d x = ∫ s e n 2 x cos ⁡ 2 x d x = - 1 2 ∫ 1 u d u = - 1 2 ln ⁡ ( cos ⁡ 2 x )

Aí nosso resultado fica:

∫ x   s e c 2 2 x d x = x t g 2 x 2 - 1 2 ∫ t g 2 x d x = x t g 2 x 2 - 1 2 - 1 2 ln ⁡ cos ⁡ x + C

∫ x   s e c 2 2 x d x = x t g 2 x 2 - 1 4 ln ⁡ cos ⁡ x + C

Não vai esquecer de colocar aquele + C no final, pois temos uma integral indefinida!

Agora sim! Terminamos!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

∫ x   s e c 2 2 x d x = x t g 2 x 2 - 1 4 ln ⁡ cos ⁡ x + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x