Calcule as integrais indefinidas abaixo

34 .   ∫ sec 3 ⁡ x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ sec 3 ⁡ x d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como neste integrando temos o produto de duas funções bem distintas (e que uma parte não é a derivada da outra) vamos usar a técnica de integração por partes

Nessa técnica devemos escolher no integrando quem é u e quem é d v , de forma que

∫ u   d v = u v - v ∫ d u

Beleza?

E como escolher nosso u ? Pela nossa regrinha do LIATE:

  • L: logaritmo
  • I: inversa trigonométrica
  • A: algébrica (polinômio)
  • T: trigonométrica
  • E: exponencial

O resto é o d v ! Escolhendo u e d v , vamos achar d u e v , e jogar na fórmula! É pra sair uma integral mais simpática!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Usando a regra do LIATE no integrando

∫ sec 3 ⁡ x d x = ∫ sec ⁡ x sec 2 ⁡ x d x =

u = sec ⁡ x ,   d u = sec ⁡ x tan ⁡ x d x

d v = sec 2 ⁡ x d x ,   v = tan ⁡ x

Beleza?

Agora é só jogar na fórmula da integração por partes!

= sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ sec ⁡ x tan 2 ⁡ x d x  

Mas tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1 aí temos duas integrais

= sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ sec ⁡ x sec 2 ⁡ x - 1 d x

= sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ sec 3 ⁡ x d x + ∫ sec ⁡ x d x

Percebe que temos a mesma integral que estamos calculando no lado direito?

isso significa que vamos agrupar elas!

Passo 3

Agora vamos resolver a integral que ficou do lado direito

∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ sec 3 ⁡ x d x + ∫ sec ⁡ x d x

2 ∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x

E por fim podemos isolar a integral!

∫ sec 3 ⁡ x d x = 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

Não esquece do + C no final! Nossa integral é indefinida!

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

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