Calcule as integrais indefinidas abaixo

49 .   ∫ sin ⁡ ln ⁡ x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ sin ⁡ ln ⁡ x d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como neste integrando temos o produto de duas funções bem distintas vamos usar a técnica de integração por partes

Nessa técnica devemos escolher no integrando quem é u e quem é d v , de forma que

∫ u   d v = u v - v ∫ d u

Beleza?

E como escolher nosso u ? Pela nossa regrinha do LIATE:

  • L: logaritmo
  • I: inversa trigonométrica
  • A: algébrica (polinômio)
  • T: trigonométrica
  • E: exponencial

O resto é o d v ! Escolhendo u e d v , vamos achar d u e v , e jogar na fórmula! É pra sair uma integral mais simpática!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Usando a regra do LIATE no integrando

∫ sin ⁡ ln ⁡ x d x

u = sin ⁡ ln ⁡ x ,   d u = cos ⁡ ln ⁡ x x d x

d v = d x ,   v = x

Beleza?

Agora é só jogar na fórmula da integração por partes!

= x sin ⁡ ln ⁡ x - ∫ cos ⁡ ln ⁡ x x . x   d x   = x sin ⁡ ln ⁡ x - ∫ cos ⁡ ln ⁡ x d x

nosso integrando ficou bem mais tranquilo né?

Passo 3

Agora vamos resolver a integral que ficou do lado direito

= x sin ⁡ ln ⁡ x - ∫ cos ⁡ ln ⁡ x d x

Vamos aplicar por partes novamente, usando u = cos ⁡ ln ⁡ x

u = cos ⁡ ln ⁡ x ,   d u = - sin ⁡ ln ⁡ x x d x

d v = d x ,   v = x

Aí temos

= x sin ⁡ ln ⁡ x - x cos ⁡ ln ⁡ x - ∫ - x sin ⁡ ln ⁡ x x d x

= x sin ⁡ ln ⁡ x - cos ⁡ ln ⁡ x - ∫ sin ⁡ ln ⁡ x d x

Nota que temos a mesma integral do lado direito que estamos calculando! Então podemos juntar as duas

∫ sin ⁡ ln ⁡ x d x = x sin ⁡ ln ⁡ x - cos ⁡ ln ⁡ x - ∫ sin ⁡ ln ⁡ x d x

2 ∫ sin ⁡ ln ⁡ x d x = x sin ⁡ ln ⁡ x - cos ⁡ ln ⁡ x

E agora isolar ela ∫ sin ⁡ ln ⁡ x d x = x 2 sin ⁡ ln ⁡ x - cos ⁡ ln ⁡ x + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

x 2 sin ⁡ ln ⁡ x - cos ⁡ ln ⁡ x + C

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