Calcule as integrais indefinidas envolvendo valor absoluto.

18)

∫ x e x   d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos a seguinte integral indefinida:

∫ x e x   d x

Eita... tem um módulo aí. Como podemos resolver?

Bom... para isso precisamos considerar dois casos:

  1. x e x ≥ 0 ;
  2. x e x < 0 .

A partir dessa dica, a gente conserve observar o resultado da integral para todo o seu domínio.

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Fazendo com o valor positivo, temos:

∫ x e x   d x

Fazendo a integração por partes, temos:

u = x ∴ d u = d x

d v = e x ∴ v = e x

Logo, temos:

= u v - ∫ v   d u ∴

= e x x - ∫ e x   d x ∴

= x e x - e x ∴

= e x x - 1 + C

Passo 3

Agora, calculando a segunda integral, temos:

∫ - x e x   d x ∴

Fazendo a integração por partes, temos:

u = x ∴ d u = d x

d v = e x ∴ v = e x

Logo, temos:

= - u v - ∫ v   d u ∴

= - e x x - ∫ e x   d x ∴

= - x e x + e x ∴

= e x 1 - x + C

Assim, temos o seguinte resultado:

∫ x e x   d x = e x x - 1 + C ,   p a r a   x e x ≥ 0 e x 1 - x + C ,   p a r a   x e x < 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ x e x   d x = e x x - 1 + C ,   p a r a   x e x ≥ 0 e x 1 - x + C ,   p a r a   x e x < 0

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