Calcule as integrais indefinidas envolvendo valor absoluto.

21)

∫ e ln ⁡ x x   d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos a seguinte integral indefinida:

∫ e ln ⁡ x x   d x

Eita... tem um módulo aí. Como podemos resolver?

Bom... para isso precisamos considerar dois casos:

  1. e ln ⁡ x x ≥ 0 ;
  2. e ln ⁡ x x < 0 .

A partir dessa dica, a gente conserve observar o resultado da integral para todo o seu domínio.

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Vamos primeiro resolver a primeira integral utilizando a substituição, temos:

∫ e ln ⁡ x x   d x ∴

Bom... pela propriedade da exponencial, temos que e ln ⁡ a = a . Logo:

∫ x x   d x = ∫ 1   d x

Aplicando a integral, temos:

∫ 1   d x = x + C

Passo 3

Agora, calculando a segunda integral, temos:

∫ - e ln ⁡ x x   d x ∴

Bom... pela propriedade da exponencial, temos que e ln ⁡ a = a . Logo:

- ∫ x x   d x = - ∫ 1   d x

Aplicando a integral, temos:

- ∫ 1   d x = - x + C

Assim, temos o seguinte resultado:

∫ e ln ⁡ x x   d x = x + C ,   p a r a   e ln ⁡ x x ≥ 0 - x + C ,   p a r a   e ln ⁡ x x < 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ e ln ⁡ x x   d x = x + C ,   p a r a   e ln ⁡ x x ≥ 0 - x + C ,   p a r a   e ln ⁡ x x < 0

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