Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G4 - 2016.1, Questão 2d

Calcule a integral:

log 3 x 2 d x

Passo 1

Podemos usar aqui a integração por partes. Ué, mas só tem log aí! Não tem problema, podemos fazer assim mesmo. Usando o LIATE:

u = log 3 x 2 v = x d u = 2 log x x ln 3 2 d x d v = d x

Sendo:

u d v = u v - v d u

Substituímos e temos:

log 3 x 2 d x = x log 3 x 2 - x 2 log x x ln 3 2 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos analisar essa nova integral aí. Podemos começar tirando a constante: x 2 log 3 x x ln 3 2 d x = 2 ln 3 2 log 3 x d x

Usamos a integração por partes e reduzimos o grau do log. Não vamos mexer em time que está ganhando e usemos-a novamente:

u = log 3 x v = x d u = 1 x ln 3 d x d v = d x

Substituindo:

log 3 x d x = x log 3 x - 1 ln 3 x x d x =

x log 3 x - 1 2 ln 3 d x = x log 3 x - x ln 3

Passo 3

Agora é só substituir e lembrar do C :

log 3 x 2 d x = x log 3 x 2 - 2 ln 3 2 x log 3 x - x ln 3 + C

Resposta

log 3 x 2 d x = x log 3 x 2 - 2 ln 3 2 x log 3 x - x ln 3 + C

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