Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G1 - 2018.1, Questão Q02d

b) Calcule a integral

1 2 x 3 sin x 2 d x

Passo 1

Quando aparece pra gente uma integral dessas, com potências de x , uma boa ideia é a gente tentar uma substituição simples pra ver onde podemos cortar. Dá uma olhada:

u = x 2 d u d x = 2 x d x = d u 2 x

Se fizermos essa substituição, vamos ficar com:

x 3 sin x 2   d x = x 3 sin u   d u 2 x = x 2 sin u   d u 2  

E olha ali multiplicando o seno: outro x 2 . Como u = x 2 , a integral fica:

x 3 sin x 2   d x = u sin u 2   d u  

Nesse caso, temos uma integral definida, então precisamos adaptar os limites de integração também, beleza? Não podemos esquecer essa parte! Vamos ter então:

x = 1 u = 1 2 = 1

x = 2 u = 2 2 = 4

A integral definida é então simplificada para:

1 2 x 3 sin x 2 d x = 1 4 u sin u 2   d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Não da pra calcular ainda direto a integral porque o seno não ta sozinho e sim ta sendo multiplicado por u . Pra gente sumir com esse u daí, vamos tentar integrar por partes. Saca só, se escolhermos:

f = u d f = d u

d g = sin u 2 d u g = - cos u 2

A integração por partes, que tem essa cara:

f   d g = f g -   g   d f

Vai ficar:

u sin u 2   d u = - u cos u 2 - - cos u 2   d f

u sin u 2   d u = - u cos u 2 - - s in u 2

u sin u 2   d u = 1 2 sin u - u cos u

Passo 3

Agora que calculamos a integral indefinida, vamos aplicar os limites de integração. Saca só:

1 4 u sin u 2   d u = 1 2 sin u - u cos u u = 1 u = 4

Fazendo as contas ficamos com:

1 4 u sin u 2   d u = 1 2 sin 4 - 4 cos 4 - sin 1 + cos 1

Resposta

1 4 u sin u 2   d u = 1 2 sin 4 - 4 cos 4 - sin 1 + cos 1

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