Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

b) Calcule a integral

∫ 1 2 x 3 sin ⁡ x 2 d x

Passo 1

Quando aparece pra gente uma integral dessas, com potências de x , uma boa ideia é a gente tentar uma substituição simples pra ver onde podemos cortar. Dá uma olhada:

u = x 2 → d u d x = 2 x → d x = d u 2 x

Se fizermos essa substituição, vamos ficar com:

∫ x 3 sin ⁡ x 2   d x = ∫ x 3 sin ⁡ u   d u 2 x = ∫ x 2 sin ⁡ u   d u 2  

E olha ali multiplicando o seno: outro x 2 . Como u = x 2 , a integral fica:

∫ x 3 sin ⁡ x 2   d x = ∫ u sin ⁡ u 2   d u  

Nesse caso, temos uma integral definida, então precisamos adaptar os limites de integração também, beleza? Não podemos esquecer essa parte! Vamos ter então:

x = 1 → u = 1 2 = 1

x = 2 → u = 2 2 = 4

A integral definida é então simplificada para:

∫ 1 2 x 3 sin ⁡ x 2 d x = ∫ 1 4 u sin ⁡ u 2   d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Não da pra calcular ainda direto a integral porque o seno não ta sozinho e sim ta sendo multiplicado por u . Pra gente sumir com esse u daí, vamos tentar integrar por partes. Saca só, se escolhermos:

f = u → d f = d u

d g = sin ⁡ u 2 d u → g = - cos ⁡ u 2

A integração por partes, que tem essa cara:

∫ f   d g = f g -   ∫ g   d f

Vai ficar:

∫ u sin ⁡ u 2   d u = - u cos ⁡ u 2 - ∫ - cos ⁡ u 2   d f

∫ u sin ⁡ u 2   d u = - u cos ⁡ u 2 - - s in ⁡ u 2

∫ u sin ⁡ u 2   d u = 1 2 sin ⁡ u - u cos ⁡ u

Passo 3

Agora que calculamos a integral indefinida, vamos aplicar os limites de integração. Saca só:

∫ 1 4 u sin ⁡ u 2   d u = 1 2 sin ⁡ u - u cos ⁡ u u = 1 u = 4

Fazendo as contas ficamos com:

∫ 1 4 u sin ⁡ u 2   d u = 1 2 sin ⁡ 4 - 4 cos ⁡ 4 - sin ⁡ 1 + cos ⁡ 1

Resposta

∫ 1 4 u sin ⁡ u 2   d u = 1 2 sin ⁡ 4 - 4 cos ⁡ 4 - sin ⁡ 1 + cos ⁡ 1

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