Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G3 - 2013.1, Questão 1c

Calcule a integral:

x e - x   d x

Passo 1

Pra essa questão, o método de integração mais indicado é a integração por partes, beleza?!! Isso porque temos um produto de duas funções diferentes. Como o x quando a gente deriva, vira constante, vamos escolher

u = x

e - x d x = d v

Assim, derivando o primeiro e integrando o segundo, vamos ter:

d u = d x

- e - x = v

Substituindo na fórmula da integração por partes, teremos:

u   d v = u v - v d u

x e - x   d x = x - e - x - - e - x d x

x e - x   d x = - x e - x + e - x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora só falta resolver a integral que sobrou alí a direita. O que não vai ser um problema porque quando transformamos:

e - x d x = d v

Em:

- e - x = v

Fizemos exatamente essa integral! Sendo assim:

e - x d x = - e - x

E no final das contas vamos ter:

x e - x   d x = - x e - x - e - x + C

Resposta

x e - x   d x = - x e - x - e - x + C

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