Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

UNICAMP, Cálculo 1, P3 - 2015.1 - 6ª Noturno, Questão 2 b

b Calcule a integral

ln x 2 d x

Passo 1

Para integrar esse cara aí vamos usar a integral por partes e chamar o pedaço de logaritmo de u , pela regra do LIATE que ensinamos na teoria. O resto será chamado de d v :

u = ln x 2 d u = 2 ln x ln x ' = 2 ln x x d x

d v = d x v = x

Agora vamos seguir a fórmula da integral por partes:

ln x 2 d x = ln x 2 x - x 2 ln x x d x

= ln x 2 x - 2 ln x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos uma outra integral envolvendo logaritmo e polinômio. Vamos integrá-la por partes também, pela mesma lógica do LIATE:

u = 2 ln x d u = 2 d x x

d v = d x v = x

2 ln x d x = 2 x ln x - x 2 d x x

= 2 x ln x - 2 d x

= 2 x ln x - 1

Passo 3

Assim, voltamos ao termo do Passo 1 e concluímos nossa resposta:

ln x 2 d x = ln x 2 x - 2 ln x d x

= ln x 2 x - 2 x ln x - 1

= x ln 2 x - 2 x ln x + 2 x + C

Resposta

ln x 2 d x = x ln 2 x - 2 x ln x + 2 x + C

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