b Calcule a integral

∫ ln ⁡ x 2 d x

Passo 1

Para integrar esse cara aí vamos usar a integral por partes e chamar o pedaço de logaritmo de u , pela regra do LIATE que ensinamos na teoria. O resto será chamado de d v :

u = ln ⁡ x 2 → d u = 2 ln ⁡ x ln ⁡ x ' = 2 ln ⁡ x x d x

d v = d x → v = x

Agora vamos seguir a fórmula da integral por partes:

∫ ln ⁡ x 2 d x = ln ⁡ x 2 x - ∫ x 2 ln ⁡ x x d x

= ln ⁡ x 2 x - ∫ 2 ln ⁡ x d x

Passo 2

Temos uma outra integral envolvendo logaritmo e polinômio. Vamos integrá-la por partes também, pela mesma lógica do LIATE:

u = 2 ln ⁡ x → d u = 2 d x x

d v = d x → v = x

∫ 2 ln ⁡ x d x = 2 x ln ⁡ x - ∫ x 2 d x x

= 2 x ln ⁡ x - 2 ∫ d x

= 2 x ln ⁡ x - 1

Passo 3

Assim, voltamos ao termo do Passo 1 e concluímos nossa resposta:

∫ ln ⁡ x 2 d x = ln ⁡ x 2 x - ∫ 2 ln ⁡ x d x

= ln ⁡ x 2 x - 2 x ln ⁡ x - 1

= x ln 2 ⁡ x - 2 x ln ⁡ x + 2 x + C

Resposta

∫ ln ⁡ x 2 d x = x ln 2 ⁡ x - 2 x ln ⁡ x + 2 x + C

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