Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Calcule a integral

∫ x 2 ln ⁡ x ² d x

Passo 1

Para começar, vamos simplificar o integrando. Note que podemos tirar o expoente do x em ln ⁡ x ² e multiplica-lo, assim:

∫ x 2 ln ⁡ x ² d x = ∫ 2 x 2 ln ⁡ x d x = 2 ∫ x 2 ln ⁡ x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora chegamos na etapa mais importante, a integração por partes! Dá uma olhada:

f x = ln ⁡ x → f ' x = 1 x

g ' x = x 2 → g x = x 3 3

Então

2 ∫ x 2 ln ⁡ x d x = 2 x 3 3 ln ⁡ x - ∫ 1 x . x 3 3 d x = 2 x 3 3 ln ⁡ x - 2 ∫ x 2 3 d x = 2 x 3 3 ln ⁡ x - 2 3 ∫ x ² d x

Passo 3

Resolvendo a integral ficamos com

2 x 3 3 ln ⁡ x - 2 3 ∫ x 2 d x = 2 x 3 3 ln ⁡ x - 2 3 . x 3 3 = 2 x 3 3 ln ⁡ x - 2 x 3 9 = 2 x 3 3 ln ⁡ x - 1 9 + C

Resposta

2 x 3 3 ln ⁡ x - 1 9 + C

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