Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Calcule a integral:

∫ cos ⁡ x ln ⁡ sen ⁡ x d x

Passo 1

Bem, temos aqui sen ⁡ x   e sua derivada com cos ⁡ x , então podemos começar fazendo uma substituição:

u = sen ⁡ x d u = cos ⁡ x d x

Ficando:

∫ ln ⁡ u d u

Ainda não temos uma integral fundamental.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, para tentar chegar lá, vamos usar a integração por partes. Segundo o LIATE, escolhemos w = ln ⁡ u , ficando:

w = ln ⁡ u v = u d w = 1 u d u d v = d u

Pela formula geral, temos:

∫ w d v = w v - ∫ v d w

Substituindo os valores que atribuímos:

∫ ln ⁡ u d u = u ln ⁡ u - ∫ u u d u = u ln ⁡ u - ∫ d u

= u ln ⁡ u - 1

Lembre-se que precisamos voltar para uma função de x . Como u = sen ⁡ x :

∫ cos ⁡ x ln ⁡ sen ⁡ x d x = sen ⁡ x ln ⁡ sen ⁡ x - 1 + C

Resposta

∫ cos ⁡ x ln ⁡ sen ⁡ x d x = sen ⁡ x ln ⁡ sen ⁡ x - 1 + C

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