Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

  1. Calcule a integral

∫ 0 2 e x ∙ x 2 + 1   d x

Passo 1

Então, tem uma função de x e tem e x dentro da integral? Então vamos matar o problema por integração por partes!

Nesse tipo de integração, a gente tem que encontrar uma função para ser a u para derivar e a outra a d v para integrar, lembra?

Como se a gente derivar o polinômio, uma hora o x desaparece, é uma boa a gente chamar

u = x 2 + 1

d v = e x d x

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Passo 2

Depois que escolhemos u e d v , a gente deve encontrar o d u e v

u = x 2 + 1               ⇒               d u = 2 x   d x

d v = e x d x                   ⇒ e n t ã o   o   v   s ó   p o d e   s e r a   i n t e g r a l   d e   e x …               v = e x

Pow, lembrando da fórmula de integração por partes

∫ u d v = u v - ∫ v d u

E agora substituindo os caras que encontramos

∫ x 2 + 1 e x d x = x 2 + 1 e x - ∫ 2 x e x d x     →

∫ x 2 + 1 e x d x = x 2 + 1 e x - 2 ∫ x e x d x

Cara, perceba que a gente caiu do lado de lá em outra integral. Bora resolve-la separado então, neh?!

Passo 3

Podemos resolver essa outra integral aqui

∫ x e x d x

também por integração por partes, ou seja, vamos chamar

u = x               ⇒ P o r t a n t o …             d u = d x

d v = e x d x               ⇒ P o r t a n t o …             v = e x

comparando novamente com a fórmula

∫ u d v = u v - ∫ v d u       →

∫ x e x d x = x e x - ∫ e x d x

Essa outra integral que apareceu aí é direta

∫ x e x d x = x e x - e x

Passo 4

Regressando para onde paramos no passo 2

∫ x 2 + 1 e x d x = x 2 + 1 e x - 2 ∫ x e x d x   →

e substituindo o que acabamos de encontrar

∫ x 2 + 1 e x d x = x 2 + 1 e x - 2 x e x - e x →

obteremos, dando aquela arrumada na casa...

∫ x 2 + 1 e x d x = x 2 e x + e x - 2 x e x + 2 e x →

∫ x 2 + 1 e x d x = x 2 e x - 2 x e x + 3 e x

Passo 5

Note que no resultado acima a gente não colocou a constante de integração, isso porque o que realmente queremos é a integral definida, então é indiferente colocar a constante, ela desparece, mesmo

∫ 0 2 e x ∙ x 2 + 1   d x =   x 2 e x - 2 x e x + 3 e x 0 2

substituindo os valores...

∫ 0 2 e x ∙ x 2 + 1   d x = 2 2 e 2 - 2 ∙ 2 e 2 + 3 e 2 - 0 2 e 0 - 2 ∙ 0 e 0 + 3 e 0 →

∫ 0 2 e x ∙ x 2 + 1   d x = 4 e 2 - 4 e 2 + 3 e 2 - 0 - 0 + 3 ∙ 1 →

∫ 0 2 e x ∙ x 2 + 1   d x = 3 e 2 - 3

Resposta

3 e 2 - 3

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