Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Calcule a integral

∫ x 2 ln ⁡ x 2 d x

Passo 1

Nessa integral temos o produto de duas funções de tipos diferentes (o polinômio x 2 e a função logarítmica ln ⁡ x 2 ), sendo que essa logarítmica é difícil de integrar. E o x 2 , bom, é fácil tanto de derivar quanto integrar.

Isso são pistas que essa integral vai sair por integração por partes.

Seguindo a regrinha do LIATE, vamos fazer o seguinte:

u = ln ⁡ x 2 → d u = 2 ln ⁡ x x d x d v = x 2 d x → v = x 3 3

Então temos:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x 2 ln ⁡ x 2 d x = ln ⁡ x 2 x 3 3 - ∫ x 3 3 . 2 ln ⁡ x x d x

= x 3 3 ln ⁡ x 2 - 2 3 ∫ x 2 ln ⁡ x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular separado essa nova integral que apareceu:

∫ x 2 ln ⁡ x d x

Vamos integrar por partes de novo:

u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x d v = x 2 d x → v = x 3 3

Então vamos ter: ∫ x 2 ln ⁡ x d x = ln ⁡ x x 3 3 - ∫ x 3 3 ⋅ 1 x d x

= x 3 3 ln ⁡ x - 1 3 ∫ x 2 d x = x 3 3 ln ⁡ x - 1 3 . x 3 3 + C

Botando x 3 / 3 em evidência, isso dá:

∫ x 2 ln ⁡ x d x = x 3 3 ln ⁡ x - 1 3 + C

Passo 3

Lembrando que achamos antes:

∫ x 2 ln ⁡ x 2 d x = x 3 3 ln ⁡ x 2 - 2 3 ∫ x 2 ln ⁡ x d x

Portanto, juntando os resultados das duas integrações por partes:

∫ x 2 ln ⁡ x 2 d x = x 3 3 ln ⁡ x 2 - 2 3 . x 3 3 ln ⁡ x - 1 3 + C

O que vai dar:

x 3 3 ln ⁡ x 2 - 2 9 x 3 ln ⁡ x - 1 3 + C

Resposta

x 3 3 ln ⁡ x 2 - 2 9 x 3 ln ⁡ x - 1 3 + C

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