Calcule a integral

∫ x l n l n   x   2 d x

Passo 1

Fala aí turminha, tudo bem? Vamos pra cima dessa questão! Pra essa questão temos que utilizar integral por partes. Você sabe como a gente aplica esse método? Bora lá que a gente resolve. Pra qualquer integral, podemos encaixar ela nesse formato:

∫ u   d v = u ⋅ v - ∫ v ⋅ d u

Então a gente só precisa achar quem é u e quem é v dentro da nossa função. A escolha mais sábia é a gente sempre optar por colocar:

u = l n l n   x   2

d v = x   d x

Calculando d u e v :

d u = 2 l n l n   x   x

v = x 2 2

Por que nossa integral entra perfeitamente no formato:

∫ u   d v = u ⋅ v - ∫ v ⋅ d u

Passo 2

Agora vamos aplicar o método:

∫ u   d v = u ⋅ v - ∫ v ⋅ d u

E já temos calculado:

u = l n l n   x   2

d v = x   d x

d u = 2 l n l n   x   x d x

v = x 2 2

Portanto: calculando o lado esquerdo da equação:

u ⋅ v - ∫ v ⋅ d u = l n l n   x   2 ⋅ x 2 2 - ∫ x 2 2 ⋅ 2 l n l n   x   x   d x

Simplificando esse monstrinho, temos:

x 2 ⋅ l n l n   x   2 2 - ∫ x l n l n   x     d x

E agora? Aplicaremos integração por partes denovo! Isso pois dentro dessa integral ainda não temos uma integral explicitamente fácil de resolver.

Passo 3

Show, então repetindo o método que a gente viu no passo 2 pra nossa nova integral:

x 2 ⋅ l n l n   x   2 2 - ∫ x l n l n   x     d x

Escolheremos o u = l n l n   x   e d v = x   d x . Portanto,

d u = 1 x   d x

v = x 2 2

Logo,

u ⋅ v - ∫ v ⋅ d u = l n l n   x   x 2 2 - ∫ x 2 2 1 x   ⋅ d x

Simplificando:

l n l n   x   x 2 2 - ∫ x 2 2 1 x   ⋅ d x = l n l n   x   x 2 2 - ∫ x 2   ⋅ d x

Agora ficou bem mais fácil de resolver! Portanto:

l n l n   x   x 2 2 - ∫ x 2   ⋅ d x = l n l n   x   x 2 2 - x 2 4 + C

Lembrando que isso é só a solução daquela integral que encontramos no passo 2. Substituindo nela novamente:

∫ x l n l n   x   2 d x = x 2   l n l n   x   2 2 - l n l n   x   x 2 2 - x 2 4 + C

∫ x l n l n   x   2 d x = x 2   l n l n   x   2 2 - l n l n   x   x 2 2 + x 2 4 + C

E é isso galerinha! Fica a dica que se a questão ainda tiver meio complicada, vale a pena refazer o método de integral por partes novamente. Bons estudos e te aguardo na próxima questão 😊

Resposta

x 2   l n l n   x   2 2 - l n l n   x   x 2 2 + x 2 4 + C

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