Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

  1. Calcule a integral

∫ 0 π 2 sin 3 ⁡ x ∙ cos ⁡ x     d x

Passo 1

Pô, a primeira coisa que devemos fazer aqui é identificar o método que vamos fazer essa integral aí.

Como temos um termo dentro de uma raiz, já podemos ir desconfiando de uma substituição.

EPA! O termo dentro da raiz não é qualquer um: é o cosseno! Sabemos que a derivada do cosseno é o - sin ⁡   que temos um do lado de fora.

Logo de fato vamos fazer uma substituição! Acompanha-me aqui ;D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Antes de a gente fazer a substituição, vamos só fazer uma coisa antes...

Aquele seno ao cubo, vamos separar em duas partes

∫ 0 π 2 sin 3 ⁡ x ∙ cos ⁡ x     d x   →

∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ x ∙ sin ⁡ x ∙ cos ⁡ x     d x

Se a gente passar esse segundo seno para próximo do d x ...

∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ x ∙ cos ⁡ x   ∙ sin ⁡ x   d x

e fizermos a tão esperada substituição do cosseno por um... sei lá, u

u = cos ⁡ x

então

d u = - sin ⁡ x   d x                 ⇒ o u   s e   p r e f e r i r                 sin ⁡ x d x = - d u

EPA! toda vez que fizermos uma substituição, não podemos esquecer dos novos limites de integração, ou seja

x = 0             →             u = cos ⁡ 0         ⇒ e n t ã o             u = 1

x = π 2           →             u = cos ⁡ π 2         ⇒ e n t ã o             u = 0

Substituindo tudo isso então...

∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ x ∙ cos ⁡ x   ∙ sin ⁡ x   d x =

∫ 1 0 sin 2 ⁡ x ∙ u   ∙ - d u

Ué, mas e o sin 2 ⁡ x ? Ele pode ficar ali?

Passo 3

Não! Ele não pode ficar ali!

Pra gente tirar ele dali, vamos associar ela com o cosseno pela relação fundamental da trigonometria: sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Passando esse cosseno para o outro lado...

sin 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

Lembrando que a gente chamou o cosseno de u

sin 2 ⁡ x = 1 - u 2

Substituindo agora...

∫ 1 0 sin 2 ⁡ x ∙ u   ∙ - d u     →           - ∫ 1 0 1 - u 2 ∙ u     d u

Passo 4

Agora devemos resolver aquela integral ali em cima em u . Porém nota que os limites dela estão estranho, neh? se inverter os dois, a gente tem que mudar o sinal, se lembra?

- ∫ 1 0 1 - u 2 ∙ u     d u = ∫ 0 1 1 - u 2 ∙ u     d u

Aeh! Agora está do jeito que a gente conhece , lembrando que u = u 1 2

∫ 0 1 1 - u 2 ∙ u 1 2   d u

Efetuando esse produto

∫ 0 1 u 1 2 - u 2 u 1 2   d u

pela propriedade de potência, podemos somar o expoente daquele produto

∫ 0 1 u 1 2 - u 5 2   d u =

integrando esses caras

∫ 0 1 u 1 2 - u 5 2   d u = u 1 2 + 1 1 2 + 1 - u 5 2 + 1 5 2 + 1 0 1

= u 3 2 3 2 - u 7 2 7 2 0 1 =

2 u 3 2 3 - 2 u 7 2 7 0 1

Substituindo os limites de integração

∫ 0 1 u 1 2 - u 5 2   d u = 2 ∙ 1 3 2 3 - 2 ∙ 1 7 2 7 - 2 ∙ 0 3 2 3 - 2 ∙ 0 7 2 7 =

2 3 - 2 7 = 8 21

Resposta

8 21

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