Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Calcule a integral

∫ x 7 x d x

Passo 1

Vamos fazer integração por partes! Dá uma olhada:

f x = x → f ' x = 1

g ' x = 1 7 x → g x = - 1 ln ⁡ 7 . 7 x

Então

∫ x 7 x d x = - 1 ln ⁡ 7 . 7 x x - ∫ - 1 ln ⁡ 7 . 7 x d x = ∫ 1 ln ⁡ 7 . 7 x d x - x ln ⁡ 7 . 7 x = 1 ln ⁡ 7 ∫ 7 - x d x - x ln ⁡ 7 . 7 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para resolver a integral ficamos vamos fazer a seguinte substituição

u = - x

d x = - d u

Então

∫ 7 - x d x = - ∫ 7 u d u = - 7 u ln ⁡ 7

E voltando pra variável original

- 7 u ln ⁡ 7 = - 7 - x ln ⁡ 7 = - 1 7 x ln ⁡ 7

Passo 3

E voltando pra expressão da integração por partes ficamos com

1 ln ⁡ 7 ∫ 7 - x d x - x ln ⁡ 7 . 7 x = 1 ln ⁡ 7 - 1 7 x ln ⁡ 7 - x ln ⁡ 7 . 7 x = - 1 7 x ln 2 ⁡ 7 - x ln ⁡ 7 . 7 x = - x ln ⁡ 7 + 1 7 x ln 2 ⁡ 7 + C

Resposta

- x ln ⁡ 7 + 1 7 x ln 2 ⁡ 7 + C

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