Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Calcule a integral

∫ x 2 e x   d x

Passo 1

Vou te ensinar a manha aqui pra ver como resolver isso. Olhei pra integral, vi duas funções diferentes/ Muito provável que seja por partes. Observa que aí temos um exponencial e uma potencia, ou seja, algébrica. Isso é um forte indicador de ser uma integral que resolvemos por partes.

Bom, para resolver então temos que respeitar uma certa ordem: LIATE

Logarítimo

Inversa das trigonométricas

Algébricas

Trigonométricas

Exponencial

Essa é a ordem que precisamos respeitar para escolher o u . Tudo o que sobra dentro da integral é o d v .

Uma vez decidido, aplicamos a fórmula:

u v - ∫ v   d u

Tranquilo? Bora lá então

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nossa integral é a

∫ x 2 e x   d x

u nesse caso então vai ser o x 2 enquanto o d v será tudo o que sobra dentro da integral, ou seja, e x d x

u = x 2

d u = 2 x   d x

d v = e x d x

v = e x

Montando então o resultado dessa integral fica sendo:

u v - ∫ v   d u = x 2 e x - ∫ e x 2 x   d x

Passo 3

Como ainda temos duas funções dentro da integral, vamos aplicar a regra da integração por partes mais uma vez! Respeitamos ainda a mesma ordem para escolhermos o u e o d v .

x 2 e x - ∫ e x 2 x   d x

u = 2 x

d u = 2   d x  

d v = e x d x

v = e x

x 2 e x - u v - ∫ v   d u

x 2 e x - 2 x e x - ∫ e x 2 d x  

x 2 e x - 2 x e x + 2 e x + C

Prontinho, eis nosso resultado final

Resposta

x 2 e x - 2 x e x + 2 e x + C

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