Calcule ∫ p ( d ) d x , onde

g )   p x = ln ⁡ ( a 2 + x 2 ) ,   a ∈ R

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ ln ⁡ ( a 2 + x 2 ) d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como neste integrando temos o produto de duas funções bem distintas (e que uma parte não é a derivada da outra) vamos usar a técnica de integração por partes

Nessa técnica devemos escolher no integrando quem é u e quem é d v , de forma que

∫ u   d v = u v - v ∫ d u

Beleza?

E como escolher nosso u ? Pela nossa regrinha do LIATE:

  • L: logaritmo
  • I: inversa trigonométrica
  • A: algébrica (polinômio)
  • T: trigonométrica
  • E: exponencial

O resto é o d v ! Escolhendo u e d v , vamos achar d u e v , e jogar na fórmula! É pra sair uma integral mais simpática!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Usando a regra do LIATE no integrando

∫ ln ⁡ ( a 2 + x 2 ) d x

u = ln ⁡ ( a 2 + x 2 ) ,   d u = 1 a 2 + x 2 . 2 x d x

d v = d x ,   v = x

Beleza?

Agora é só jogar na fórmula da integração por partes!

= x ln ⁡ a 2 + x 2 - ∫ x . 2 x a 2 + x 2 d x  

x ln ⁡ ( a 2 + x 2 ) - 2 ∫ x 2 a 2 + x 2 d x

nosso integrando ficou bem mais tranquilo né?

Passo 3

Agora vamos resolver a integral que ficou do lado direito

= x ln ⁡ ( a 2 + x 2 ) - 2 ∫ x 2 a 2 + x 2 d x

Somando e subtraindo a 2 no numerador conseguimos separar em duas integrais

= x ln ⁡ ( a 2 + x 2 ) - 2 ∫ a 2 + x 2 a 2 + x 2 d x - a 2 ∫ 1 a 2 + x 2 d x

= x ln ⁡ ( a 2 + x 2 ) - 2 ∫ d x - a 2 ∫ 1 a 2 + x 2 d x

Integrando temos

= x ln ⁡ ( a 2 + x 2 ) - 2 x + 2 a 2 1 a arctan ⁡ x a + C

E simplificando temos

= x ln ⁡ ( a 2 + x 2 ) - 2 x + 2 a arctan ⁡ x a + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

x ln ⁡ ( a 2 + x 2 ) - 2 x + 2 a arctan ⁡ x a + C

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Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x