Calcule ∬ D s e n x   d A , onde D é a região limitada pelas retas y = x , y = 3 x e y = π .

Passo 1

Vamos entender melhor essa região D para podermos reescrever aquele termo d A e transformar numa integral que a gente consiga resolver. Desenhando as três funções y do enunciado temos

Olha só! Naquele miolo ali surge um triangulo que é a nossa região de integração

A gente percebe que as funções se encontram na origem no nosso sistema ( x = 0 ) e o ponto mais à direita desse triângulo é o encontro de y = x com y = π . Ou seja, igualando essas duas funções temos

x = π

Que é o maior valor de x que podemos. Olhando essa figura a gente percebe que a região D é uma região do tipo 1 com os limites

x ≤ y ≤ 3 x   e   0 ≤ x ≤ π  

Passo 2

Como em uma região do tipo 1 temos

d A = d y   d x

A gente usa essa informação e os limites que a gente já encontrou para reescrever a integral como

∬ D s e n x   d A =   ∫ 0 π ∫ x 3 x s e n   x   d y   d x

Essa integral iterada pode ser resolvida primeiro resolvendo a integral em y   isoladamente

  ∫ 0 π ∫ x 3 x s e n   x   d y   d x =   ∫ 0 π s e n   x   y x 3 x d x   =   ∫ 0 π s e n   x   ( 3 x - x ) d x   =   ∫ 0 π 2 x   s e n   x   d x  

Passo 3

Agora a gente resolve a integral em x   que sobrou

∫ 0 π 2 x   s e n   x   d x   = 2   ∫ 0 π x   s e n   x   d x  

Vamos ter que usar o método de integral por partes escolhendo u = x e d v = s e n x   d x . Calculamos d u pela derivada

d u =   d d x x d x = d x

E v obtemos integrando d v

v = ∫ d v = ∫ s e n x   d x =   - cos ⁡ x

Usando

∫ u d v = u v - ∫ v d u

A gente escreve a nossa integral como

2   ∫ 0 π x   s e n   x   d x   = 2   x . - c o s x 0 π -   ∫ 0 π - cos ⁡ x d x = 2   x . c o s x π 0 +   ∫ 0 π cos ⁡ x d x

=   2   0 . cos ⁡ 0 - π . cos ⁡ π + s e n   π - s e n   0 = 2 .     -   π . - 1 + 0 -   0 = 2 π  

Passo 4

2 π

  ∫ 0 2 π ∫ 0 r r 2 . 2 - r 2 . r d r d θ =     ∫ 0 2 π ∫ 0 r r 3 . 2 - r d r d θ =   ∫ 0 2 π ∫ 0 r 2 r 3 - r 4 d r d θ

Essa é uma integral iterada e a gente pode resolvê-la primeiro resolvendo a integral em r separadamente

∫ 0 2 π ∫ 0 r 2 r 3 - r 4 d r d θ =   ∫ 0 2 π 2 . r 4 4 - r 5 5 r = 0 r = 2   d θ     ∫ 0 2 π 2 . 2 4 4 - 2 5 5 - 0 d θ =     ∫ 0 2 π 2 5 1 4 - 1 5 d θ =   ∫ 0 2 π 2 5 20 d θ

Passo 5

Agora podemos resolver a integral em θ

∫ 0 2 π 2 5 20 d θ = 2 5 20 θ 0 2 π = 2 5 20 . 2 π =   2 5 π 10 =   2 4 π 5 = 16 π 5  

Resposta

16 π 5

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x