Calcule as primitivas abaixo:

a)

∫ x 2 e x d x

Passo 1

Faaala galerinha da USP... questão de integral com duas funções que não conversam muito entre si... Isso tem cara de integral por partes, bora lá?

Só lembrando, na integração por partes, temos uma integral do tipo:

∫ u d v

E resolvemos ela fazendo:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

O lance aqui é saber escolher bem o seu u e o seu d v , para isso, usamos o famoso LIATE:

Logarítmica, Inversa trigonométrica, Aritmética, Trigonométrica e Exponencial.

Dessa forma, vou escolher como u = x 2 , pois ela é uma aritmética e como d v = e x d x pois e x é uma exponencial, bora lá!

Passo 2

Beleza, se u = x 2 , então

d u d x = d x 2 d x

d u = 2 x d x

E como d v = e x d x , então temos:

∫ d v = ∫ e x d x

v = e x

Show, com isso fazemos:

∫ x 2 e x d x = x 2 e x - ∫ e x 2 x d x

E agora, vamos precisar integrar por partes de novo, usando:

u = 2 x → d u = 2 d x

d v = e x d x → v = e x

Substituindo na expressão, teremos:

∫ x 2 e x d x = x 2 e x - ∫ e x 2 x d x

= x 2 e x - 2 x e x - ∫ e x 2 d x

= x 2 e x - 2 x e x + 2 e x + C

Cuidado pra não esquecer da constante hein!

Resposta

∫ x 2 e x d x = x 2 e x - 2 x e x + 2 e x + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x