Calcule:

j )   ∫ sec 5 ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

Para identificarmos o que fazer nesta questão, vamos primeiro abrir um pouco o nosso enunciado:

∫ sec 5 ⁡ ( x ) d x = ∫ sec 3 ⁡ ( x ) sec 2 ⁡ ( x ) d x

Por quê eu fiz isso? Isso não nos deixa no formato de nenhuma integral usual! Mas como sempre digo, na dúvida, tentemos por partes! Bora lá!

Passo 2

Se usarmos que u = sec 3 ⁡ ( x ) e d v = sec 2 ⁡ ( x ) , temos que:

d u d x = d d x sec 3 ⁡ x = 3 sec 2 ⁡ x d d x sec ⁡ x = 3 sec 2 ⁡ x   d d x 1 cos ⁡ x

3 sec 2 ⁡ x   d d x 1 cos ⁡ x = 3 sec 2 ⁡ ( x ) sin ⁡ ( x ) cos 2 ⁡ ( x ) = 3 tan ⁡ ( x ) sec 3 ⁡ ( x )

Ou seja,

d u = 3 tan ⁡ ( x ) sec 3 ⁡ ( x ) d x

E para o v , temos:

v = ∫ sec 2 ⁡ ( x ) d x = tan ⁡ ( x )

de forma que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Nos resulta em

∫ sec 3 ⁡ ( x ) sec 2 ⁡ ( x ) d x = ∫ sec 3 ⁡ x d x = tan ⁡ x sec 3 ⁡ ( x ) - 3 ∫ tan 2 ⁡ ( x ) sec 3 ⁡ ( x ) d x

Precisamos dar um jeito nesta segunda integral! Bora lá!

Passo 3

Vamos utilizar que:

tan 2 ⁡ ( x ) + 1 = sec 2 ⁡ ( x ) →   tan 2 ⁡ ( x ) = sec 2 ⁡ ( x ) - 1       ( 1 )

O nosso integrando fica então:

∫ tan 2 ⁡ ( x ) sec 3 ⁡ ( x ) d x = ∫ sec 2 ⁡ ( x ) - 1 sec 3 ⁡ ( x ) d x = ∫ sec 5 ⁡ ( x ) d x - ∫ sec 3 ⁡ ( x ) d x

Ficou esquisito! Mas tem uma coisinha ali que é bem conveniente! Consegue enxergar?

Passo 4

Vamos substituir de volta em nossa integral original, temos que:

∫ se c 5 ⁡ x d x = tan ⁡ x sec 3 ⁡ ( x ) - 3 ∫ tan 2 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x → ∫ sec 5 ⁡ x d x = tan ⁡ x sec 3 ⁡ x - 3 ∫ sec 5 ⁡ x d x + 3 ∫ sec 3 ⁡ ( x ) d x

Na segunda igualdade podemos isolar a integral de secante a quinta potência! Saca só:

4 ∫ sec 5 ⁡ ( x ) d x = tan ⁡ ( x ) sec 3 ⁡ ( x ) + 3 ∫ sec 3 ⁡ ( x ) d x

Agora, nós precisamos resolver esta última integral! O processo é o mesmo! Nós a fizemos na alternativa anterior, se quiser dar uma olhada!! Bora lá!

Passo 5

Temos então que:

∫ sec 5 ⁡ ( x ) d x = 1 4 tan ⁡ ( x ) sec 3 ⁡ ( x ) + 3 4 ∫ sec 3 ⁡ ( x ) d x

E usando que:

∫ sec 3 ⁡ ( x ) d x = 1 2 tan ⁡ ( x ) sec ⁡ ( x ) + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ ( x ) + tan ⁡ ( x ) + C

Temos:

∫ sec 5 ⁡ ( x ) d x = 1 4 tan ⁡ ( x ) sec 3 ⁡ ( x ) + 3 4   1 2 tan ⁡ ( x ) sec ⁡ ( x ) + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ ( x ) + tan ⁡ ( x ) + C = 3 8 tan ⁡ ( x ) sec ⁡ ( x ) + 3 8 ln ⁡ sec ⁡ ( x ) + tan ⁡ ( x ) + 1 2 tan ⁡ ( x ) sec 3 ⁡ ( x ) + C

Essa questão foi! Bora para próxima! hehehehe

Resposta

∫ sec 5 ⁡ ( x ) d x = 3 8 tan ⁡ ( x ) sec ⁡ ( x ) + 3 8 ln ⁡ sec ⁡ ( x ) + tan ⁡ ( x ) + 1 2 tan ⁡ ( x ) sec 3 ⁡ ( x ) + C

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