Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Integração por Partes

Calcule:

b   ∫ x sec 2 ⁡ x + tg ⁡ x d x

Passo 1

Vamos tratar essa integral como a soma de duas integrais diferentes:

∫ x sec 2 ⁡ x d x + ∫ tg ⁡ x d x

Nas duas temos uma trigonométrica multiplicando uma função algébrica. Vamos resolver cada uma das duas e depois somar o resultado.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Essa primeira pede a Integração por partes. Pelo LIATE nosso u será a algébrica, o x , e o d v será as trigonométricas, as secantes. Para a primeira fica assim:

u = x → d u = d x

d v = sec 2 ⁡ x d x → v = tg ⁡ x

∫ x sec 2 ⁡ x d x = x tg ⁡ x - ∫ tg ⁡ x d x

Para tudo!! Mudança de planos, apareceu aqui a mesma integral que precisaríamos resolver depois. Quer dizer, olha onde chegamos:

∫ x sec 2 ⁡ x d x + ∫ tg ⁡ x d x = x tg ⁡ x - ∫ tg ⁡ x d x + ∫ tg ⁡ x d x

Da para cortar uma pela outra! Que beleza, vamos poupar nosso trabalho, já chegamos no resultado:

∫ x sec 2 ⁡ x + tg ⁡ x d x = x tg ⁡ x + C

Resposta

∫ x sec 2 ⁡ x + tg ⁡ x d x = x tg ⁡ x + C

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