Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

UFPE, Cálculo 1, 3º EE - 2012.1, Questão 1c

Calcule a seguinte integral:

ln 2 x d x

Passo 1

Uma função aleatória assim solta, parece uma boa integrar por partes. Mas pra isso precisamos de 2 funções, então vamos usar aquele macete de uma das funções ser o polinômio 1 :

u = ln 2 x d u = 2 ln x x d x d v = 1 d x = d x v = x

Assim:

u d v = u v - v d u

ln 2 x d x = x . ln 2 x - x . 2 ln x x d x

Opa, ali na integral vai cortar o x :

ln 2 x d x = x . ln 2 x - 2 ln x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora apareceu a integral do logaritmo, que é uma clássica da integração por partes. Fazemos

u = ln x d u = 1 x d x d v = d x v = x

Daí

ln x d x = x . ln x - x . 1 x d x

ln x d x = x . ln x - 1 d x

ln x d x = x . ln x - x

Passo 3

Beleza, então vamos usar esse resultado na integral que achamos antes:

ln 2 x d x = x . ln 2 x - 2 ln x d x

Já vamos acrescentando a constante de integração antes que a gente esqueça dela:

ln 2 x d x = x . ln 2 x - 2 x . ln x - x + C

ln 2 x d x = x . ln 2 x - 2 x . ln x + 2 x + C

Resposta

x . ln 2 x - 2 x . ln x + 2 x + C

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