Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Calcule a seguinte integral:

∫ ln 2 ⁡ x d x

Passo 1

Uma função aleatória assim solta, parece uma boa integrar por partes. Mas pra isso precisamos de 2 funções, então vamos usar aquele macete de uma das funções ser o polinômio 1 :

u = ln 2 ⁡ x → d u = 2 ln ⁡ x x d x d v = 1 d x = d x → v = x

Assim:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

⇔ ∫ ln 2 ⁡ x d x = x . ln 2 ⁡ x - ∫ x . 2 ln ⁡ x x d x

Opa, ali na integral vai cortar o x :

∫ ln 2 ⁡ x d x = x . ln 2 ⁡ x - 2 ∫ ln ⁡ x d x

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Passo 2

Agora apareceu a integral do logaritmo, que é uma clássica da integração por partes. Fazemos

u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x d v = d x → v = x

Daí

∫ ln ⁡ x d x = x . ln ⁡ x - ∫ x . 1 x d x

∫ ln ⁡ x d x = x . ln ⁡ x - ∫ 1 d x

∫ ln ⁡ x d x = x . ln ⁡ x - x

Passo 3

Beleza, então vamos usar esse resultado na integral que achamos antes:

∫ ln 2 ⁡ x d x = x . ln 2 ⁡ x - 2 ∫ ln ⁡ x d x

Já vamos acrescentando a constante de integração antes que a gente esqueça dela:

∫ ln 2 ⁡ x d x = x . ln 2 ⁡ x - 2 x . ln ⁡ x - x + C

∫ ln 2 ⁡ x d x = x . ln 2 ⁡ x - 2 x . ln ⁡ x + 2 x + C

Resposta

x . ln 2 ⁡ x - 2 x . ln ⁡ x + 2 x + C

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