Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Calcule a seguinte integral

∫ a r c c o s x d x

Passo 1

Falaaa, tá bem? O bizu dessa vai ser: se a gente precisa integrar uma inversa trigonométrica sozinha, a gente vai usar integração por partes. Como? A gente vai chamar essa função de u :

u = a r c c o s x ∴ d u d x = - 1 1 - x 2 ∴ d u = - d x 1 - x 2

Obs: é bom ter a derivada das inversas trigonométricas na cabeça, tá?

Aí chamamos de d v quem sobrou, o d x :

d v = d x  

É como se nosso d v fosse 1 ⋅ d x . Esse 1 tá ali, a gente só não escreveu. Aí:

v = ∫ 1   d x = x ∴ v = x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aí jogamos isso na fórmulinha da integração por partes

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ arccos ⁡ x d x = x arccos ⁡ x - ∫ x ⋅ - 1 1 - x 2 d x

∫ arccos ⁡ x d x = x arccos ⁡ x + ∫ x 1 - x 2 d x

Aí falta calcular essa integral que apareceu.

Passo 3

∫ x 1 - x 2 d x

Cara, a gente pode calcular ela fazendo uma substituição simples

u = 1 - x 2 ∴ d u d x = - 2 x ∴ d u - 2 = x   d x

Aí nossa integral fica:

∫ x 1 - x 2 d x = - 1 2 ∫ 1 u d u = - 1 2 ∫ u - 1 2 d u = - 1 2 u 1 2 1 2 = - u 1 2

Mas a gente viu que u = 1 - x 2 :

∫ x 1 - x 2 d x = - 1 - x 2

Passo 4

Substituindo o que a gente achou nas nossas continhas:

∫ arccos ⁡ x d x = x arccos ⁡ x + ∫ x 1 - x 2 d x

∫ arccos ⁡ x d x = x arccos ⁡ x - 1 - x 2 + C

Aí a gente precisa colocar a constante de integração, já que nossa integral é indefinida.

Resposta

x arccos ⁡ x - 1 - x 2 + C

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