2 - Calcule as seguintes integrais.

e) ∫ e x c o s x d x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão, nosso objetivo é calcular a integral de e x c o s x . Porém para calcular essa integral é necessário aplicarmos algumas técnicas de integração pois apenas pelo teorema fundamental do cálculo não podemos obter esse resultado!

Qual técnica podemos aplicar nesse caso?

Analisando a função de integração, vemos que ela é composta pelo produto de duas funções e x e cos ⁡ x , assim, como uma análoga da regra do produto para as derivadas, podemos aplicar o método de integração por partes.

Esse método consiste em separar parte da integral como u e a outra parte como d u , assim podemos aplicar a fórmula

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

Bora ver como esse método fica no nosso caso? 😁

Passo 2

Se considerarmos u = e x e d v = cos ⁡ x d x , derivando u e integrando v , vamos obter ambas pelo teorema fundamental do cálculo.

d u d x = d e x d x = e x

d u = e x d x

∫ d v = ∫ cos ⁡ x d x

v = s e n x

Logo, temos

u = e x d v = cos ⁡ x d x d u = e x d x v = s e n x

Montando nossa formulinha...

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

∫ e x cos ⁡ x d x = e x · s e n x - ∫ e x s e n x d x

Aqui chegamos em um ponto que temos que ter um pouco de atenção. Temos que fazer a mesma análise que acabamos de fazer para a integral de e x s e n x .

Aplicando o método de integração por partes com u = e x e d v = s e n x d x ...

d u = e x d x v = - c o s x

∫ e x s e n x d x = - e x · c o s x - ∫ e x - cos ⁡ x d x

∫ e x s e n x d x = - e x · c o s x + ∫ e x cos ⁡ x d x

Substituindo em ∫ e x cos ⁡ x d x ...

∫ e x cos ⁡ x d x = e x · s e n x - - e x · c o s x + ∫ e x cos ⁡ x d x

∫ e x cos ⁡ x d x = e x · s e n x + e x · c o s x - ∫ e x cos ⁡ x d x

Ué! Mas aí chegamos na integral que tínhamos anteriormente! 🤔

Vamos entrar em um looping?

Passo 3

Aqui vem o famoso pulo do gato!

Vamos isolar ∫ e x cos ⁡ x d x em um lado da igualdade passando o do lado direito para o lado esquerdo

∫ e x cos ⁡ x d x + ∫ e x cos ⁡ x d x = e x · s e n x + e x · c o s x

2 ∫ e x cos ⁡ x d x = e x · s e n x + e x · c o s x

Assim, temos que

∫ e x cos ⁡ x d x = e x · s e n x + e x · c o s x 2 + C

E essa é o resultado da integral que tínhamos que calcular! Interessante, não é? 👀

Não se esqueça da constante de integração C .

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ e x cos ⁡ x d x = e x · s e n x + e x · c o s x 2 + C

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Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x