2 - Calcule as seguintes integrais.

d) ∫ x s e n 3 x d x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nosso objetivo aqui é calcular a integral de x s e n 3 x , mas pra isso temos que usar algum método de integração pois a função de integração é composta pelo produto de duas outras funções x e s e n 3 x .

Tem ideia de qual técnica podemos aplicar aqui? 🤔🤔

A princípio, poderíamos pensar no método de substituição, mas se fizermos isso, não seria muito prático pois não poderíamos já que não seria possível substituir x na derivada de 3 x .

Então nos resta aplicar o método de integração por partes, um análogo da regra do produto nas derivadas.

Esse método consiste em substituir parte da função de integração por u e parte por d v , dessa forma aplicando a formulinha

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

Bora ver como fica no nosso caso? 😁

Passo 2

Se nossa integral é ∫ x s e n 3 x d x , vamos chamar de u e d v

u = x d v = s e n 3 x d x

Assim, d u e v são obtidos derivado u e integrando v

d u = x 1 - 1 = 1 v = ∫ s e n 3 x d x

Temos que dar uma atenção especial em v por ali temos uma integral de uma função composta. Agora sim podemos aplicar o método de substituição eu nada mais é do que substituir nossa variável por outra!

Fazendo 3 x = r , derivando r vamos obter

d r d x = 3 x 1 - 1 = 3

Isolando d x ...

d x = d r 3

Assim, v poderá ser obtido como

v = ∫ s e n r d r 3 = 1 3 ∫ s e n r d r

Pelo teorema fundamental do cálculo a integral de s e n r é cos ⁡ r , logo

v = 1 3 ∫ s e n r d r = 1 3 cos ⁡ r

Não podemos deixar o resultado em função de r , então voltamos r para 3 x .

v = 1 3 cos ⁡ 3 x

Entendeu essa parte? 👀

Passo 3

Agora sim podemos aplicar a integração por partes a partir da fórmula

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

Dado que

u = x d v = s e n 3 x d x d u = 1 v = 1 3 cos ⁡ 3 x

Ou seja

∫ x s e n 3 x d x = x · 1 3 cos ⁡ 3 x - ∫ 1 3 cos ⁡ 3 x d x

∫ x s e n 3 x d x = x 3 cos ⁡ 3 x - 1 3 ∫ cos ⁡ 3 x d x

Na integral de cos ⁡ 3 x , temos que aplicar o método de substituição também, fazendo 3 x = r .

Já sabemos que d x = d r / 3 , nesse caso, então...

∫ cos ⁡ 3 x d x → ∫ cos ⁡ r d r 3

∫ x s e n 3 x d x = x 3 cos ⁡ 3 x - 1 9 ∫ cos ⁡ r d r

Pelo teorema fundamental do cálculo a integral de cos ⁡ r é igual a - s e n r , ou seja

∫ x s e n 3 x d x = x 3 cos ⁡ 3 x - 1 9 - s e n r

Não podemos deixar o resultado em função de r , então voltamos r para 3 x

∫ x s e n 3 x d x = x 3 cos ⁡ 3 x - 1 9 - s e n 3 x

∫ x s e n 3 x d x = x 3 cos ⁡ 3 x + 1 9 s e n 3 x + C

Não podemos esquecer da constante C ! E está ponta nossa integral! 😉

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ x s e n 3 x d x = x 3 cos ⁡ 3 x + 1 9 s e n 3 x + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x