3. Calcule as seguintes integrais indefinidas:

b. ∫ x 2 ln ⁡ 3 x d x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui o problema é bem direto e pede para resolvermos a seguinte integral

∫ x 2 ln ⁡ 3 x d x

Agora temos que escolher o melhor método de integração para resolve-la!

Repara que temos duas funções de “tipos” diferentes multiplicada. Uma parte polinomio que multiplica uma parte logarítmica. Quando isso acontecer, a minha dica é tentar o método de integração por partes.

Bora lá!

Passo 2

Na integração por partes temos que

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Ou seja, precisamos chamar uma parte da nossa integral de u e outra parte de d v .

Temos a seguinte integral,

∫ x 2 ln ⁡ 3 x d x

Para separar em u e v , usamos uma regrinha que é o LIATE, que da a prioridade de quem será a parte u :

L - l o g a r i t m i c a

I - I n v e r s a   t r i g o n o m e t r i c a

A - a l g é b r i c a   p o l i n ô m i o

T - t r i g n o m é t r i c a

E - e x p o n e c i a l

Ou seja, pela nossa regra temos que

u = ln ⁡ 3 x → d u = 1 x d x

E

d v = x 2 d x → v = x 3 3

Agora vamos resolver essa integral!

Passo 3

Resolvendo a integral, ficamos com

∫ x 2 ln ⁡ 3 x d x = ln ⁡ 3 x x 3 3 - ∫ x 3 3 1 x d x

Ou seja,

∫ x 2 ln ⁡ 3 x d x = x 3 3 ln ⁡ 3 x - ∫ x 2 3 d x

Integrando a segunda parte,

∫ x 2 ln ⁡ 3 x d x = x 3 3 ln ⁡ 3 x - x 3 9 + C

Onde C é a nossa constante de integração!

Resposta

x 3 3 ln ⁡ 3 x - x 3 9 + C

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Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x