Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Integração por Partes

Calcule as seguintes integrais indefinidas

a ) ∫ x 5 cos ⁡ ( x 3 + 2 ) d x

Passo 1

É o seguinte, não dá para fazer muita coisa com a integral do jeito que está, né? Fazer por partes do jeito que está vai ser meio complicado, né? Além disso, não tem nenhuma forma de misturar o que tem fora do cosseno e o que tem dentro. O macete, então, é simplificar o que tem dentro do cosseno, que é mais chato de mexer geralmente, e adaptar o que temos fora ao que fica dentro. Vamos pensar que eu vá fazer uma substituição t = x 3 + 2 . Eu começaria arrumando a minha integral antes, dado que teríamos d t = 3 x 2 :

∫ x 5 cos ⁡ ( x 3 + 2 ) d x = ∫ x 3 3 cos ⁡ x 3 + 2 3 x 2 d x

Eu sei tirar o meu d u dali e posso tirar o que tem dentro do cosseno também. Agora, e aquele x 3 ? Po, olhando para a substituição original, t = x 3 + 2 . Assim,

x 3 = t - 2

Agora podemos juntar tudo na integral:

∫ x 3 3 cos ⁡ x 3 + 2 3 x 2 d x = 1 3 ∫ t - 2 cos ⁡ t d t

Essa daí é bem melhor de trabalhar! Vamos fazer integração por partes que vai sair tranquila (lembrando que a ordem de escolha do u é através do LIATE):

u = t - 2 ; d v = cos ⁡ ( t )

d u = d t ; v = sen ⁡ ( t )

1 3 ∫ t - 2 cos ⁡ t d t = 1 3 t - 2 sen ⁡ t - ∫ sen ⁡ t d t

= 1 3 t - 2 sen ⁡ t + cos ⁡ ( t )

Basta des-substituir o t = x 3 + 2 agora!

1 3 t - 2 sen ⁡ t + cos ⁡ t

= 1 3 x 3 sen ⁡ x 3 + 2 + cos ⁡ ( x 3 + 2 ) + C

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Resposta

∫ x 5 cos ⁡ ( x 3 + 2 ) d x = 1 3 x 3 sen ⁡ x 3 + 2 + cos ⁡ ( x 3 + 2 ) + C

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